Uma empresa, investindo na segurança, contrata uma firma para instalar mais uma câmera de segurança no teto de uma sala. Para iniciar o serviço, o representante da empresa informa ao instalador que nessa sala já estão instaladas duas câmeras e, a terceira, deverá ser colocada de maneira a ficar equidistante destas. Além disso, ele apresenta outras duas informações:
(i) um esboço em um sistema de coordenadas cartesianas, do teto da sala, onde estão inseridas as posições das câmeras 1 e 2, conforme a figura.
(ii) cinco relações entre as coordenadas (x ; y) da posição onde a câmera 3 deverá ser instalada.
O instalador, após analisar as informações e as cinco relações, faz a opção correta dentre as relações apresentadas para instalar a terceira câmera. A relação escolhida pelo instalador foi a:
A) R1.
B) R2.
C) R3.
D) R4.
E) R5
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Geometria Analítica (ponto médio, coeficiente angular e equação da reta)
📝 Tema/Objetivo Geral: Determinar a equação da mediatriz do segmento que une dois pontos.
📊 Nível da Questão: Médio
🎯 Gabarito: D
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
A empresa precisa instalar uma nova câmera em uma sala. Ela deve ser colocada no teto, exatamente equidistante das duas já instaladas. As posições dessas câmeras já estão desenhadas no plano cartesiano. Também são fornecidas cinco opções de equações de retas.
🔹 A questão quer saber qual das equações representa corretamente a reta mediatriz do segmento que liga os pontos onde estão as câmeras 1 e 2.
✔ Palavras-chave: equidistante, mediatriz, equação da reta.
Objetivo: Determinar a equação da mediatriz do segmento que liga os pontos (3, 1) e (2, 4).
Agora que o comando foi analisado e o objetivo definido, vamos abordar os conceitos e conteúdos necessários.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📌 Mediatriz: é a reta perpendicular ao segmento que liga dois pontos e que passa exatamente pelo ponto médio desse segmento.
📌 Coeficiente angular da reta que liga dois pontos:
Se temos dois pontos A(x₁, y₁) e B(x₂, y₂), o coeficiente angular a da reta que passa por eles é:
a = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁)
📌 Coeficiente da perpendicular (mediatriz):
Se uma reta tem coeficiente a, então uma reta perpendicular a ela terá coeficiente -1/a
📌 Equação da reta:
A equação geral de uma reta é:
y = a × x + b, onde a é o coeficiente angular e b é o termo independente.
Sabendo o ponto por onde a reta passa e o valor de a, podemos substituir e encontrar b.
Com os conceitos bem estabelecidos, vamos agora interpretar o texto da questão.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
As câmeras estão posicionadas nos seguintes pontos do plano:
- Câmera 1: (3, 1)
- Câmera 2: (2, 4)
A nova câmera será posicionada equidistante das outras duas, o que significa que ela deve estar sobre a mediatriz do segmento entre essas duas câmeras. Precisamos encontrar qual das 5 equações fornecidas representa essa mediatriz.
Agora que interpretamos o texto, vamos desenvolver o raciocínio e realizar os cálculos necessários.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
1- Primeiro, vamos encontrar o ponto médio entre os pontos (3, 1) e (2, 4):
🔹 xₘ = (3 + 2) / 2 = 5 / 2
🔹 yₘ = (1 + 4) / 2 = 5 / 2
✔ O ponto médio do segmento entre as câmeras é (5 / 2, 5 / 2).
2- Agora vamos calcular o coeficiente angular da reta que liga os dois pontos:
a = (1 – 4) / (3 – 2) = -3
3- O coeficiente da mediatriz, que é perpendicular, será:
aₘ = -1 / (-3) = 1 / 3
4- Agora usamos esse coeficiente e o ponto médio para encontrar a equação da reta:
y = (1 / 3) × x + b
5- Substituímos o ponto (5 / 2, 5 / 2):
5 / 2 = (1 / 3) × (5 / 2) + b
5 / 2 = 5 / 6 + b
6- Isolando o b:
b = 5 / 2 – 5 / 6 = (15 – 5) / 6 = 10 / 6 = 5 / 3
✔ A equação da mediatriz é:
y = (1 / 3) × x + 5 / 3
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
📌 Vamos analisar cada equação:
- R1: y = x → ❌ coeficiente 1, não serve.
- R2: y = -3x + 5 → ❌ coeficiente -3, não é perpendicular.
- R3: y = -3x + 10 → ❌ mesmo problema da R2.
- R4: y = (1 / 3) × x + 5 / 3 → ✅ corresponde exatamente à equação que encontramos.
- R5: y = (1 / 3) × x + 1 / 10 → ❌ termo independente incorreto.
✅ A alternativa correta é a R4.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 A questão exigia encontrar a equação da mediatriz do segmento entre as duas câmeras. Calculamos o ponto médio, o coeficiente angular da reta entre os pontos, e a equação da reta perpendicular que passa pelo ponto médio. A equação correta foi identificada entre as opções fornecidas.
🔍 Resumo Final: A mediatriz do segmento entre os pontos (3, 1) e (2, 4) é a reta y = (1 / 3) × x + 5 / 3, portanto, a alternativa correta é a letra D.
