O dono de um salão de festas precisa decorar cinco pilastras verticais cilíndricas idênticas, cujo raio da base mede 10 cm. O objetivo é revestir integralmente essas pilastras com faixas de menor comprimento possível, de modo que cada uma tenha seis faixas de cor preta e cinco faixas de cor branca, conforme ilustrado na figura.
Ele orçou as faixas em cinco lojas que as comercializam na largura e nas cores desejadas, porém, em todas elas, só são vendidas peças inteiras. Os comprimentos e os respectivos preços das peças comercializadas por loja estão apresentados no quadro.
O dono do salão de festas decidiu efetuar a compra em uma única loja, optando por aquela em que a compra ficaria mais barata.
Utilize 3 como valor aproximado para π.
A loja na qual o dono do salão de festas deve comprar as peças necessárias para confeccionar as faixas é
A) I.
B) II.
C) III.
D) IV.
E) V.
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Plana (Comprimento da Circunferência)
- Aritmética Básica (Multiplicação, Divisão, Conversão de Unidades)
- Otimização e Lógica Matemática
Tema/Objetivo Geral:
Cálculo de custo mínimo para a aquisição de materiais, envolvendo o cálculo geométrico das quantidades necessárias e a otimização da compra com base em diferentes opções comerciais.
Nível da Questão
Médio – A questão é de nível médio, pois não envolve apenas um cálculo, mas uma sequência de etapas lógicas e aritméticas. O aluno precisa calcular a geometria, determinar a quantidade total de material, e então simular cinco cenários de compra diferentes, prestando atenção à regra crucial de comprar apenas “peças inteiras”. A quantidade de passos aumenta a chance de cometer pequenos erros que comprometem o resultado final.
Gabarito
Alternativa B. Após calcular o comprimento total de faixas necessárias para cada cor e simular a compra em cada uma das cinco lojas, a Loja II é a que apresenta o menor custo total para adquirir todas as peças.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“A loja na qual o dono do salão de festas deve comprar as peças necessárias para confeccionar as faixas é…”
1.2 O que está sendo pedido?
O exercício nos pede para determinar qual das cinco lojas oferece a opção de compra mais barata para revestir todas as pilastras, seguindo as especificações do projeto.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é calcular o custo total da compra em cada uma das cinco lojas e, em seguida, comparar os valores para identificar a opção mais econômica.
1.4 Pergunta de Atenção
Você se lembrou que não dá pra comprar “meia peça” de faixa na loja? A necessidade de comprar sempre a peça inteira, mesmo que sobre um pedaço, é a chave para não errar no custo final!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
Para resolver esta questão, precisamos dominar dois conceitos principais:
- Comprimento da Circunferência (C): A medida do contorno de um círculo. É o que precisamos para saber o comprimento de cada faixa que dará uma volta completa na pilastra. A fórmula é:
C = 2 · π · r
Onde:- C é o comprimento da circunferência.
- π (pi) é uma constante matemática. O problema nos manda usar o valor aproximado π ≈ 3.
- r é o raio da base do cilindro (a pilastra).
- Otimização de Compra com Peças Inteiras: Quando um material é vendido apenas em peças de tamanho fixo, precisamos calcular quantas peças inteiras são necessárias para atingir o comprimento total desejado.
- Cálculo: Número de peças = Comprimento total necessário / Comprimento de uma peça
- Regra Importante: Como não se pode comprar frações de uma peça, o resultado dessa divisão deve ser sempre arredondado para o próximo número inteiro.
- Exemplo do cotidiano: Se você precisa de 8 metros de um tecido que é vendido em rolos de 3 metros, a conta 8 / 3 = 2,66… significa que você precisa comprar 3 rolos inteiros. Dois rolos não seriam suficientes.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Imagine que você precisa decorar 5 postes para uma festa. Você vai enrolar fitas pretas e brancas em cada um deles. Primeiro, você precisa medir a “cintura” de um poste para saber o comprimento de cada fita. Depois, você calcula o total de metros de fita preta e de fita branca que vai precisar para todos os 5 postes. Por fim, você vai a cinco lojas diferentes. Cada uma vende rolos de fita de tamanhos e preços diferentes. Sua missão é fazer as contas para cada loja e descobrir em qual delas a sua compra total sairá mais barata, lembrando que você só pode comprar rolos inteiros.
3.2 Estratégia Geral
Nosso plano de ataque será dividido em três grandes etapas:
- Cálculo da Necessidade: Calcular o comprimento total de faixas pretas e brancas necessárias.
- Simulação de Custos: Para cada uma das cinco lojas, calcular quantas peças de cada cor seriam necessárias e qual o custo total.
- Comparação e Decisão: Comparar os custos totais de cada loja e identificar a mais barata.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Etapa 1: Calcular o comprimento de UMA faixa.
A faixa dá uma volta completa em uma pilastra cilíndrica. Seu comprimento é a circunferência da base.
Dados: r = 10 cm, π ≈ 3.
C = 2 · π · r
C = 2 · 3 · 10 cm
C = 60 cm
Vamos converter para metros, pois os dados da loja estão em metros: 60 cm = 0,6 m.
Etapa 2: Calcular o comprimento TOTAL de faixas necessárias.
São 5 pilastras. Cada uma tem 6 faixas pretas e 5 faixas brancas.
- Comprimento total de faixa PRETA:
5 pilastras × 6 faixas/pilastra × 0,6 m/faixa = 18 metros - Comprimento total de faixa BRANCA:
5 pilastras × 5 faixas/pilastra × 0,6 m/faixa = 15 metros
4.2 Verificação Intermediária
Até aqui, já sabemos exatamente o que precisamos comprar: 18 metros de faixa preta e 15 metros de faixa branca.
Etapa 3: Simular a compra e calcular o custo em CADA loja.
- Loja I (peças de 3m, R$ 11,00):
- Pretas: 18 m / 3 m/peça = 6 peças. Custo: 6 × 11 = R$ 66,00.
- Brancas: 15 m / 3 m/peça = 5 peças. Custo: 5 × 11 = R$ 55,00.
- Custo Total Loja I = R$ 66,00 + R$ 55,00 = R$ 121,00
- Loja II (peças de 7m, R$ 19,00):
- Pretas: 18 m / 7 m/peça = 2,57… → Precisamos comprar 3 peças. Custo: 3 × 19 = R$ 57,00.
- Brancas: 15 m / 7 m/peça = 2,14… → Precisamos comprar 3 peças. Custo: 3 × 19 = R$ 57,00.
- Custo Total Loja II = R$ 57,00 + R$ 57,00 = R$ 114,00
- Loja III (peças de 10m, R$ 33,00):
- Pretas: 18 m / 10 m/peça = 1,8 → Precisamos comprar 2 peças. Custo: 2 × 33 = R$ 66,00.
- Brancas: 15 m / 10 m/peça = 1,5 → Precisamos comprar 2 peças. Custo: 2 × 33 = R$ 66,00.
- Custo Total Loja III = R$ 66,00 + R$ 66,00 = R$ 132,00
- Loja IV (peças de 14m, R$ 37,00):
- Pretas: 18 m / 14 m/peça = 1,28… → Precisamos comprar 2 peças. Custo: 2 × 37 = R$ 74,00.
- Brancas: 15 m / 14 m/peça = 1,07… → Precisamos comprar 2 peças. Custo: 2 × 37 = R$ 74,00.
- Custo Total Loja IV = R$ 74,00 + R$ 74,00 = R$ 148,00
- Loja V (peças de 22m, R$ 61,00):
- Pretas: 18 m / 22 m/peça = 0,81… → Precisamos comprar 1 peça. Custo: 1 × 61 = R$ 61,00.
- Brancas: 15 m / 22 m/peça = 0,68… → Precisamos comprar 1 peça. Custo: 1 × 61 = R$ 61,00.
- Custo Total Loja V = R$ 61,00 + R$ 61,00 = R$ 122,00
4.3 Possível armadilha
A principal armadilha é esquecer de arredondar o número de peças para cima. Por exemplo, na Loja II, a conta para as faixas pretas é 18 / 7 ≈ 2,57. Um erro comum seria usar 2,57 no cálculo do preço, ou arredondar para baixo, o que levaria a um valor incorreto e à falta de material. Outra armadilha seria calcular o “preço por metro” de cada loja e escolher a mais barata nesse critério, ignorando o desperdício de material que a compra de peças inteiras acarreta.
4.4 Fechamento e expectativa
Após simular a compra em todas as lojas, comparamos os custos totais:
- Loja I: R$ 121,00
- Loja II: R$ 114,00 (O mais barato)
- Loja III: R$ 132,00
- Loja IV: R$ 148,00
- Loja V: R$ 122,00
🏆 Passo 5: Conclusão e Justificativa Final
5.1 Resumo do Raciocínio
A resolução envolveu determinar o comprimento total de faixas de cada cor (18m de preta, 15m de branca). Em seguida, para cada loja, calculou-se o número de peças inteiras necessárias para cada cor, arredondando para cima. Finalmente, os custos totais de cada loja foram calculados e comparados, revelando que a Loja II era a opção mais econômica.
5.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a B), correspondente à Loja II.
5.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Em problemas de otimização de compra com unidades fixas, nunca se esqueça da regra de ouro: sempre arredonde o número de peças necessárias para cima e calcule o custo com base nesse número inteiro. O “preço por metro” pode enganar
