Uma formiga encontra-se no ponto X, no lado externo de um copo que tem a forma de um cilindro reto. No lado interno, no ponto V, existe um grão de açúcar preso na parede do copo. A formiga segue o caminho XYZWV (sempre sobre a superfície lateral do copo), de tal forma que os trechos ZW e WV são realizados na superfície interna do copo. O caminho XYZWV é mostrado na figura.
Sabe-se que: os pontos X, V, W se encontram à mesma distância da borda; o trajeto WV é o mais curto possível; os trajetos XY e ZW são perpendiculares à borda do copo; e os pontos X e V se encontram diametralmente opostos.
Supondo que o copo é de material recortável, realiza-se um corte pelo segmento unindo P a Q, perpendicular à borda do copo, e recorta-se também sua base, obtendo então uma figura plana. Desconsidere a espessura do copo.
Considerando apenas a planificação da superfície lateral do copo, a trajetória da formiga é:
Resolução em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução
- Geometria Espacial
- Planificação de Cilindros
- Análise de movimento sobre superfícies curvas
- Interpretação de trajetos em 2D
🔢 Nível da Questão
🔹Médio a difícil — exige visualização 3D, abstração e conversão do cilindro em planificação.
✅ Gabarito
- Alternativa A
📝 Resolução Passo a Passo
🔍 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Temos uma formiga que caminha sobre a superfície lateral de um cilindro (o copo).
A trajetória é:
X → Y → Z → W → V
Precisamos representar esse caminho corretamente na planificação da superfície lateral do copo, ou seja, como se o cilindro fosse aberto e deitado no plano.
O objetivo é encontrar qual figura (entre as alternativas) mostra corretamente essa trajetória após o copo ser aberto.
📖 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
📦 O que é planificar um cilindro?
- Ao “abrir” um cilindro lateralmente, a parede lateral vira um retângulo.
- Altura do retângulo = altura do copo
- Largura do retângulo = circunferência da base do copo
(como se você cortasse com uma tesoura da borda superior até a inferior e desenrolasse)
📍 Importância da planificação:
- A forma curva do cilindro vira plana
- Caminhos mais curtos sobre a superfície cilíndrica se tornam retas na planificação
🧾Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
Vamos interpretar o movimento real da formiga:
🔹 X → Y
- A formiga sobe verticalmente na parede externa do copo
- Como ela sobe paralela à altura do cilindro, o movimento será uma reta vertical à esquerda da planificação
🔹 Y → Z
- Quando chega no topo (Y), ela gira à direita, andando sobre a borda do copo
- Como ela está na borda externa, sua “direita” leva para a direção que avança ao longo da circunferência
- Na planificação: isso aparece como uma linha horizontal para a direita
🔹 Z → W
- No ponto Z (topo interno agora), ela desce
- A formiga, ainda olhando na mesma orientação, dobra à direita novamente, iniciando a descida pela parede interna
- Desce em linha reta vertical — no meio do retângulo
🔹 W → V
Esse é o ponto chave da questão!
- Agora a formiga está em W, no meio da parede interna do copo, e precisa ir até V
- O ponto V está diametralmente oposto a X → ou seja, está na outra lateral da planificação
- Na prática, a formiga gira à esquerda, pois ela não pode ir na direção de X
- Como ela quer alcançar o lado oposto, o caminho mais curto será uma reta inclinada para a esquerda, até o canto inferior direito da planificação (V)
🧠
Passo 4: Desenvolvimento do raciocínio
➡️ No cilindro: o caminho mais curto entre dois pontos sobre a parede curva nem sempre parece uma reta.
➡️ Na planificação (retângulo): o menor caminho entre dois pontos sobre a superfície é uma reta no papel.
Por isso, todos os segmentos do trajeto da formiga (X → Y → Z → W → V) devem ser desenhados como linhas retas no plano.
📌 A única alternativa que respeita:
- As curvas corretas (duas direitas e uma esquerda)
- A ordem dos pontos
- A representação como retângulo (não curvo)
- E a simetria do cilindro (X e V em lados opostos)
…é a alternativa A.
🧪 Passo 5: Análise das Alternativas
A) ✅ Correta
- Representa a planificação com formato retangular
- Trajetória respeita:
- X → Y (reta vertical à esquerda)
- Y → Z (horizontal para a direita)
- Z → W (reta vertical no meio)
- W → V (reta inclinada para esquerda até o canto oposto)
✔️ Geometricamente e logicamente correta
B), D), E) ❌
- Representações curvas ou incorretas da planificação — invalidam a forma
C) ❌
- WV está se aproximando de X, mas X e V estão diametralmente opostos
- Não respeita o critério da curva para esquerda no final
🧷 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
A formiga realiza três mudanças de direção:
- Sobe
- Gira à direita
- Desce
- Gira à esquerda final para alcançar o lado oposto do cilindro
Quando o cilindro é planificado:
- O movimento é representado por linhas retas
- Os pontos X e V devem aparecer em lados opostos do retângulo
- O único trajeto que mostra essa sequência com coerência é o da letra A
✅ Gabarito: Alternativa A
