Alguns modelos de rádios automotivos estão protegidos por um código de segurança. Para ativar o sistema de áudio, deve-se digitar o código secreto composto por quatro algarismos. No primeiro caso de erro na digitação, a pessoa deve esperar 60 segundos para digitar o código novamente. O tempo de espera duplica, em relação ao tempo de espera anterior, a cada digitação errada. Uma pessoa conseguiu ativar o rádio somente na quarta tentativa, sendo de 30 segundos o tempo gasto para digitação do código secreto a cada tentativa. Nos casos da digitação incorreta, ela iniciou a nova tentativa imediatamente após a liberação do sistema de espera.
O tempo total, em segundo, gasto por essa pessoa para ativar o rádio foi igual a:
A) 300.
B) 420.
C) 540.
D) 660.
E) 1 020.
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Potenciação, Progressão Geométrica, Adição de tempos.
📝 Tema/Objetivo Geral: Interpretar situações com crescimento exponencial de tempo e aplicar cálculos envolvendo tentativas e espera acumulada.
📊 Nível da Questão: Médio
🎯 Gabarito: C
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
“O tempo de espera duplica a cada erro, e a digitação do código leva 30 segundos por tentativa. A pessoa acertou na quarta tentativa.”
A questão envolve o somatório de dois tipos de tempo:
- Tempo gasto digitando o código (30 segundos por tentativa);
- Tempo de espera, que dobra a cada erro.
✔ Palavras-chave: tempo de espera, duplica, quatro tentativas, tempo total.
Objetivo: Calcular o tempo total gasto por uma pessoa que acertou o código secreto na quarta tentativa, considerando tanto os tempos de espera quanto os tempos de digitação.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
O tempo de espera duplica a cada erro: isso forma uma progressão geométrica.
🔹 A progressão geométrica começa em 60 s (após o primeiro erro) e dobra a cada erro subsequente:
- 1º erro: 60 s
- 2º erro: 120 s
- 3º erro: 240 s
📌 O tempo de digitação do código é fixo: 30 s por tentativa, independentemente se está correta ou não.
✔ Fórmula da soma dos tempos de digitação: Tempo total de digitação = número de tentativas × 30
✔ Soma dos tempos de espera: 60 + 120 + 240
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
O enunciado informa que a pessoa acertou o código na quarta tentativa.
🔹 Isso significa que ela errou três vezes e teve de esperar após cada erro. Então o tempo total será:
- Digitação: 4 vezes (uma a cada tentativa).
- Espera: após cada erro, com tempo dobrando (progressão geométrica de razão 2).
Precisamos somar os tempos de 4 digitações e 3 tempos de espera.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
📌 Tempo de digitação total: 4 × 30 = 120 segundos
📌 Tempos de espera após os três erros:
- Após o 1º erro: 60 s
- Após o 2º erro: 120 s
- Após o 3º erro: 240 s
✔ Soma dos tempos de espera: 60 + 120 + 240 = 420 segundos
📌 Tempo total gasto: 120 (digitação) + 420 (espera) = 540 segundos
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
A) 300
❌ Muito baixo, desconsidera parte da espera.
B) 420
❌ Soma apenas os tempos de espera, ignora a digitação.
C) 540
✅ Correta. Soma 120 segundos de digitação com 420 segundos de espera.
D) 660
❌ Valor superior ao tempo real total.
E) 1 020
❌ Muito alto, mais que o dobro do tempo real.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 A pessoa digitou o código 4 vezes, gastando 120 segundos no total. Como ela errou nas três primeiras tentativas, esperou 60, 120 e 240 segundos, somando 420 segundos de espera. O total gasto foi de 120 + 420 = 540 segundos.
🔍 Resumo Final: O tempo total gasto para ativar o rádio foi de 540 segundos, somando os tempos de digitação com os de espera crescente após os erros.
✅ Alternativa correta: C.
