Em um laboratório, cientistas observaram o crescimento de uma população de bactérias submetida a uma dieta magra em fósforo, com generosas porções de arsênico. Descobriu-se que o número de bactérias dessa população, após t horas de observação, poderia ser modelado pela função exponencial N(t) = N0ekt, em que N0 é o número de bactérias no instante do início da observação (t = 0) e representa uma constante real maior que 1, e k é uma constante real positiva.
Sabe-se que, após uma hora de observação, o número de bactérias foi triplicado.
Cinco horas após o início da observação, o número de bactérias, em relação ao número inicial dessa cultura, foi:
A) 3N0
B) 15N0
C) 243N0
D) 360N0
E) 729N0
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Função Exponencial
📝 Tema/Objetivo Geral: Analisar o crescimento populacional com base em modelo exponencial.
📊 Nível da Questão: Médio
🎯 Gabarito: C
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
A função que modela o crescimento da população bacteriana é N(t) = N₀ × eᵏᵗ, onde N₀ é a quantidade inicial e k uma constante positiva. O enunciado informa que após 1 hora a população triplica, ou seja, N(1) = 3N₀.
A pergunta é: qual o valor de N(t) quando t = 5? Ou seja, devemos determinar o fator de crescimento da população após 5 horas, em função de N₀.
✔ Palavras-chave: função exponencial, crescimento, triplicação, tempo t = 5.
📌 Objetivo da questão: Substituir corretamente os dados na função exponencial, descobrir o valor de k com base em uma informação fornecida e aplicar o modelo para t = 5.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
A função N(t) = N₀ × eᵏᵗ descreve um crescimento exponencial, onde:
- N₀ é o valor inicial.
- k define a taxa de crescimento.
- e é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2,718).
- Quando sabemos que a quantidade triplica em 1 hora, podemos usar essa informação para encontrar o valor de k.
🔹 Dica: Se N(1) = 3N₀, então substituímos na função para determinar k.
✔ Conhecimento adicional: uma função do tipo aᵗ que dobra ou triplica em intervalos regulares segue uma progressão geométrica (PG), onde o termo geral é definido por a × rⁿ.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
O texto descreve um experimento com bactérias e fornece uma função matemática para seu crescimento. A frase-chave é: “após uma hora de observação, o número de bactérias foi triplicado”, o que nos permite calcular o valor de k.
🔹 Convertendo para termos matemáticos:
- No início: N(0) = N₀
- Após uma hora: N(1) = 3N₀
- Substituímos esses dados em N(t) = N₀ × eᵏᵗ para descobrir k.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e CálculosVamos começar utilizando a informação de que a população triplica após uma hora, ou seja:
N(1) = 3 × N₀
🔹 A função geral fornecida no enunciado é:
N(t) = N₀ × eᵏᵗ
Substituindo t = 1 e N(1) = 3N₀, temos:
3N₀ = N₀ × eᵏ
✔ Agora simplificamos os dois lados dividindo por N₀:
3 = eᵏ
Isso nos mostra que eᵏ = 3, e podemos usar isso para reescrever a função original de forma mais prática:
N(t) = N₀ × (eᵏ)ᵗ = N₀ × 3ᵗ
🔹 Como queremos saber o valor de N(5), basta substituir:
N(5) = N₀ × 3⁵
✔ Sabendo que 3⁵ = 243, obtemos:
N(5) = 243 × N₀
Portanto, o número de bactérias após 5 horas será 243 vezes o número inicial.
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
A) 3N₀
❌ Representa o valor para t = 1, não t = 5.
B) 15N₀
❌ Muito abaixo do crescimento exponencial. Incorreto.
C) 243N₀
✅ Correta. É exatamente o valor de N₀ × 3⁵.
D) 360N₀
❌ Acima do valor real. Incorreto.
E) 729N₀
❌ Corresponde a 3⁶, o que excede t = 5. Incorreto.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 Com base na triplicação em uma hora, descobrimos que a função de crescimento se transforma em N(t) = N₀ × 3ᵗ. Substituindo t = 5, obtemos N(5) = 243N₀.
🔍 Resumo Final: A função exponencial revelou que após 5 horas, a população bacteriana cresceu 243 vezes em relação ao valor inicial, graças à taxa de triplicação a cada hora.
✅ Alternativa correta: C.
