Uma equipe de cientistas decidiu iniciar uma cultura com exemplares de uma bactéria, em uma lâmina, a fim de determinar o comportamento dessa população. Após alguns dias, os cientistas verificaram os seguintes fatos:
• a cultura cresceu e ocupou uma área com o formato de um círculo;
• o raio do círculo formado pela cultura de bactérias aumentou 10% a cada dia;
• a concentração na cultura era de 1 000 bactérias por milímetro quadrado e não mudou significativamente com o tempo.
Considere que r representa o raio do círculo no primeiro dia, Q a quantidade de bactérias nessa cultura no decorrer do tempo e d o número de dias transcorridos.
Qual é a expressão que representa Q em função de r e d ?
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Potenciação, Função Exponencial, Geometria Plana (Área do Círculo)
📝 Tema/Objetivo Geral: Modelar a evolução da quantidade de bactérias em função da área de um círculo cujo raio cresce exponencialmente.
📊 Nível da Questão: Médio
🎯 Gabarito: B
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
“Qual é a expressão que representa Q em função de r e d?”
A questão descreve o crescimento de uma cultura de bactérias que forma um círculo e cujo raio aumenta 10% por dia, com uma concentração fixa de 1000 bactérias por milímetro quadrado.
🔹 Nosso objetivo é encontrar a fórmula que dá a quantidade total de bactérias depois de d dias, com base na área da cultura (que depende do raio ao longo do tempo).
✔ Palavras-chave: raio cresce 10% ao dia, área do círculo, concentração constante, Q em função de r e d.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
- A área de um círculo é dada por:
Área = π × raio²
- Se o raio cresce 10% ao dia, temos um crescimento exponencial com fator 1,1.
🔹 Após d dias, o raio será:
r × (1,1) elevado a (d – 1)
(começa com r no primeiro dia, por isso d – 1)
✔ A quantidade de bactérias é a área total multiplicada pela concentração, que é de 1000 bactérias por mm².
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
📌 Traduzindo os dados para linguagem matemática:
- Raio no dia d: r × (1,1) elevado a (d – 1)
- Área nesse dia: π × [r × (1,1) elevado a (d – 1)]²
- Quantidade de bactérias: 1000 × área
🔹 Assim, queremos representar Q = 1000 × π × (r × (1,1) elevado a (d – 1))²
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
- Aplicando a fórmula:
Q = 1000 × π × (r × (1,1) elevado a (d – 1))²
- Podemos reescrever 1000 como 10³ e reorganizar os termos:
Q = 10³ × ( (1,1) elevado a (d – 1) × r )² × π
Essa é a forma algébrica mais próxima do padrão apresentado nas alternativas.
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
A) Q = (10³ × (1,1) elevado a (d – 1) × r)² × π
❌ Eleva tudo, inclusive o 10³, ao quadrado. Errado.
B) Q = 10³ × ((1,1) elevado a (d – 1) × r)² × π
✅ Correta. Está exatamente na forma deduzida no Passo 4.
C) Q = 10³ × (1,1 elevado a (d – 1) × r)² × π
❌ Falta parênteses para indicar que tudo está sendo elevado antes de multiplicar. Interpretação errada.
D) Q = 2 × 10³ × (1,1) elevado a (d – 1) × r × π
❌ Não há base quadrada, nem expressão ao quadrado. Totalmente fora do esperado.
E) Q = 2 × 10³ × (1,1 elevado a (d – 1) × r) × π
❌ Mesmo problema da D. Não corresponde à área de círculo, nem ao crescimento quadrático.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 A questão exige o uso da fórmula da área do círculo com crescimento exponencial do raio. Como a quantidade de bactérias depende da área, que por sua vez depende do quadrado do raio, a função resultante é:
Q = 10³ × ((1,1) elevado a (d – 1) × r)² × π
🔍 Resumo Final: O raio cresce 10% ao dia, ou seja, fica multiplicado por (1,1) elevado a (d – 1). A área é proporcional ao quadrado do raio, e a quantidade de bactérias é proporcional à área. A alternativa correta é a B.
