Para certas molas, a constante elástica (C) depende do diâmetro médio da circunferência da mola (D), do número de espirais úteis (N), do diâmetro (d) do fio de metal do qual é formada a mola e do módulo de elasticidade do material (G). A fórmula evidencia essas relações de dependência.
O dono de uma fábrica possui uma mola M1 em um de seus equipamentos, que tem características D1, d1, N1 e G1, com uma constante elástica C1. Essa mola precisa ser substituída por outra, M2, produzida com outro material e com características diferentes, bem como uma nova constante elástica C2, da seguinte maneira:
I) D2 = D1/3 ;
II) d2 = 3d1;
III) N2 = 9N1.
Além disso, a constante de elasticidade G2 do novo material é igual a 4G1. O valor da constante C2 em função da constante C1 é:
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Álgebra, análise de proporcionalidade em fórmulas.
📝 Tema/Objetivo Geral: Analisar a variação de uma grandeza em função de múltiplos parâmetros relacionados por uma fórmula matemática, aplicando raciocínio algébrico e proporcionalidade.
📊 Nível da Questão: Difícil
🎯 Gabarito: A
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
A questão apresenta a fórmula da constante elástica de uma mola e fornece as variações em quatro parâmetros dessa fórmula (diâmetro do fio, diâmetro médio da mola, número de espirais e módulo de elasticidade do material).
📌 Palavras-chave importantes: substituição da mola, razões entre os parâmetros, expressar C2 em função de C1.
O objetivo é aplicar as variações nos parâmetros da fórmula e encontrar a relação proporcional entre C2 e C1.
Agora que o comando foi analisado e o objetivo definido, vamos abordar os conceitos e conteúdos necessários.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📌 A constante elástica de uma mola helicoidal é dada pela fórmula:
C = (G × d⁴) / (8 × D³ × N)
onde:
- C = constante elástica;
- G = módulo de elasticidade do material;
- d = diâmetro do fio;
- D = diâmetro médio da mola;
- N = número de espiras úteis.
✔ Cada uma dessas variáveis influencia diretamente a rigidez da mola. Quando modificamos esses parâmetros, a constante elástica muda proporcionalmente.
Com os conceitos bem estabelecidos, vamos agora interpretar o texto da questão.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
📌 A questão informa a fórmula da constante e os valores de C1 e C2 com base nas seguintes mudanças:
- G2 = 4 × G1
- d2 = 3 × d1
- D2 = D1 dividido por 3
- N2 = 9 × N1
📌 Com isso, devemos substituir essas relações na fórmula da constante C2 e compará-la com C1, que é baseada em G1, d1, D1 e N1.
Agora que interpretamos o texto, vamos desenvolver o raciocínio e realizar os cálculos necessários.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
📌 Fórmulas:
- C1 = (G1 × d1⁴) / (8 × D1³ × N1)
- C2 = (G2 × d2⁴) / (8 × D2³ × N2)
Substituindo os novos valores:
- G2 = 4 × G1
- d2 = 3 × d1 → d2⁴ = 81 × d1⁴
- D2 = D1 dividido por 3 → D2³ = D1³ dividido por 27
- N2 = 9 × N1
Substituindo tudo em C2:
C2 = (4 × G1 × 81 × d1⁴) / (8 × (D1³ dividido por 27) × 9 × N1)
📌 Simplificando:
Numerador: 324 × G1 × d1⁴
Denominador: 8 × D1³ × N1 dividido por 3
Multiplicando tudo:
C2 = (324 × G1 × d1⁴ × 3) / (8 × D1³ × N1)
C2 = 972 × (G1 × d1⁴) / (8 × D1³ × N1)
✔ Ou seja:
C2 = 972 × C1
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
📌 Vamos analisar cada alternativa:
A) C2 = 972 × C1 ✅ Correta! Foi exatamente o que obtivemos.
B) C2 = 108 × C1 ❌ Subestima o valor. Muito abaixo do fator real.
C) C2 = 4 × C1 ❌ Não corresponde às proporções dos parâmetros.
D) C2 = 4 dividido por 3 × C1 ❌ Valor muito pequeno comparado ao real.
E) C2 = 4 dividido por 9 × C1 ❌ Totalmente incompatível com a relação encontrada.
✅ A alternativa correta é A.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 A questão exigiu a aplicação de uma fórmula física envolvendo proporcionalidade de variáveis. Ao substituir os valores de D, d, N e G nas proporções dadas, demonstramos que a nova constante elástica C2 equivale a 972 vezes a constante original C1.
🔍 Resumo Final: A relação entre as constantes elásticas foi obtida substituindo os parâmetros alterados na fórmula da constante elástica de uma mola helicoidal. Após simplificação, chegamos a C2 = 972 × C1, o que confirma que a alternativa correta é a letra A.
