A imagem representa uma calculadora científica com duas teclas destacadas. A tecla A eleva ao quadrado o número que está no visor da calculadora, e a tecla B extrai a raiz cúbica do número apresentado no visor.
Uma pessoa digitou o número 8 na calculadora e em seguida apertou três vezes a tecla A e depois uma vez a tecla B. A expressão que representa corretamente o cálculo efetuado na calculadora é
✍ Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Matemática (Álgebra): Propriedades de Potenciação (Potência de Potência).
- Radiciação: Representação de raízes e índices.
- Lógica Matemática: Interpretação de sequências de comandos (Algoritmos).
Tema/Objetivo Geral:
Modelar algebricamente uma sequência de operações sucessivas efetuadas em uma calculadora, aplicando corretamente as regras de manipulação de expoentes.
Nível da Questão
Fácil. O desafio é puramente de tradução: transformar os “cliques” nas teclas em uma expressão escrita. O único ponto de atenção é lembrar que elevar um número ao quadrado sucessivas vezes resulta em uma multiplicação de expoentes, e não em uma soma.
Gabarito
Alternativa B. Cada vez que a tecla A (quadrado) é apertada, o valor resultante é elevado à segunda potência. Apertar três vezes seguidas equivale a ( (8^2)^2 )^2, que pela regra da potência de potência, resulta em 8^(2 * 2 * 2). A raiz cúbica (tecla B) envolve todo esse resultado.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: A missão é escrever a “certidão de nascimento” do número que apareceu no visor. Precisamos registrar cada passo dado pela pessoa: o número que ela digitou, as três transformações de potência e o “banho de raiz” no final.
Simplificação Radical: Imagine que você está dando ordens a um robô. “Robô, pegue o 8. Eleve ao quadrado. Agora pegue o que deu e eleve ao quadrado de novo. Agora faça isso mais uma vez. Por fim, tire a raiz cúbica de tudo”. O desafio é traduzir essas frases para o “matematiquês” sem errar a gramática dos expoentes.
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Identificar a operação A: Definir o que acontece com o expoente.
- Seguir a sequência: Aplicar a operação A três vezes sobre o número 8.
- Aplicar a operação B: Colocar o símbolo de raiz cúbica sobre o bloco final.
- Validar a regra de potência: Decidir se os expoentes se somam ou se multiplicam.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para esta perícia algébrica, utilizaremos o Dossiê das Potências Sucessivas:
- A Tecla A (x²): Se o visor tem o valor “N”, apertar A transforma em N².
- Potência de Potência: Quando elevamos um número que já tem expoente a uma nova potência, a regra manda multiplicar os expoentes.
- Exemplo: (8^a)^b = 8^(a * b).
- A Tecla B (Raiz Cúbica): Envolve o valor atual dentro do símbolo de radical com índice 3 (³√).
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos realizar os cliques na calculadora e observar a evolução do visor:
- Passo 0 (Início): O número é 8.
- Clique 1 na Tecla A: O visor mostra 8^2.
- Clique 2 na Tecla A: Pegamos o 8^2 e elevamos ao quadrado: (8^2)^2. Pela regra da potência de potência, isso vira 8^(2 * 2).
- Clique 3 na Tecla A: Pegamos o resultado anterior e elevamos ao quadrado de novo: (8^(2 * 2))^2. Isso resulta em 8^(2 * 2 * 2).
- Clique na Tecla B: Pegamos tudo o que estava no visor e extraímos a raiz cúbica.
- Resultado Final: ³√(8^(2 * 2 * 2)).
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! A armadilha mais perigosa é confundir Potência de Potência com Multiplicação de potências de mesma base. No primeiro caso (que é o da questão), os expoentes se multiplicam (2 * 2 * 2 = 8). No segundo caso (como se você tivesse digitado 8² * 8² * 8²), os expoentes se somariam (2 + 2 + 2 = 6). Como apertamos a tecla sobre o resultado anterior, a regra correta é a multiplicação dos expoentes (Alternativa B)!
A Bússola (O Perfil do Culpado)
- Síntese do raciocínio: Operações encadeadas geram um processo multiplicativo nos expoentes. Três quadrados geram um expoente final de 2 * 2 * 2.
- Expectativa: Uma expressão com raiz cúbica e o número 8 elevado ao produto de três “2”.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) ³√(8^(3+3+3))
- Narrativa do Erro: O aluno vê o número “3” (de três vezes) e o número “3” (da raiz) e tenta somá-los de forma confusa.
- Diagnóstico do Erro: Confundir a quantidade de operações com o valor do expoente ou da base.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
B) ³√(8^(222))
- Análise: Perfeito. Representa fielmente a propriedade de potência de potência (expoentes multiplicados) aplicada três vezes sobre a base 8, tudo sob a raiz cúbica da tecla B.
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
C) ³√(8³ + 8³ + 8³)
- Narrativa do Erro: O aluno confunde o comando “ao quadrado” com “ao cubo” e acha que as operações se somam como parcelas.
- Diagnóstico do Erro: Erro de operação base e erro de conectivo lógico (Soma em vez de Potência).
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
D) ³√(8² + 8² + 8²)
- Narrativa do Erro: O aluno identifica o quadrado (2), mas acha que as operações sucessivas resultam em uma soma de termos iguais.
- Diagnóstico do Erro: Falha na interpretação do funcionamento de uma calculadora (que opera sobre o resultado acumulado).
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
E) ³√(8² * 8² * 8²)
- Narrativa do Erro: O aluno aplica a multiplicação de potências de mesma base. Embora pareça certo, 8² * 8² * 8² resultaria em 8^6, enquanto a operação da questão (8 ao quadrado, ao quadrado, ao quadrado) resulta em 8^8.
- Diagnóstico do Erro: Confundir Propriedades de Potência (Multiplicação de bases iguais vs Potência de potência).
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A resposta final é a Alternativa B. Essa questão demonstra como funções compostas (uma dentro da outra) geram crescimentos extremamente rápidos.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“Quadrado sobre quadrado é degrau multiplicado: 2 * 2 * 2 é o expoente do oitavo resultado!”
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Este conceito de “Operações em Cadeia” é a alma da Programação e da Ciência da Computação. Quando você vê um loop em um código (ex: elevar algo ao quadrado 100 vezes), o computador não faz 100 somas; ele realiza uma progressão que, matematicamente, segue a lógica da nossa questão. Na Economia, isso se chama “Juros sobre Juros”: o rendimento do mês que vem é calculado sobre o montante que já cresceu este mês, exatamente como o segundo “quadrado” da tecla A foi calculado sobre o resultado do primeiro.
