Considere que o modelo matemático utilizado no estudo da velocidade V, de uma partícula de um fluido escoando em um tubo, seja diretamente proporcional à diferença dos quadrados do raio R da secção transversal do tubo e da distância x da partícula ao centro da secção que a contém. Isto é, V(x) = K²(R² – x²), em que K é uma constante positiva.
O valor de x, em função de R, para que a velocidade de escoamento de uma partícula seja máxima é de
A) 0.
B) R.
C) 2R.
D) KR.
E) K²R².
✍ Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Matemática (Álgebra): Estudo de Funções de 2º Grau (Parábola e Vértice).
- Cálculo Básico: Noções de Otimização (Máximos e Mínimos).
- Física (Hidrodinâmica): Escoamento laminar em tubulações.
Tema/Objetivo Geral:
Analisar uma função quadrática para identificar o ponto de máximo da variável dependente (velocidade V), relacionando a distância radial (x) com o centro da seção transversal.
Nível da Questão
Médio. O nível é definido pela necessidade de interpretação algébrica pura. O aluno precisa perceber que, para maximizar o resultado de uma subtração onde o minuendo é fixo, o subtraendo deve ser o menor possível.
Gabarito
Alternativa A (0). A velocidade é dada por V(x) = K^2 * (R^2 – x^2). Para que V seja máximo, a parte subtraída (x^2) deve ser mínima. O menor valor possível para um quadrado perfeito é zero, o que ocorre quando x = 0 (centro do tubo).
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: A missão é descobrir em qual ponto do cano a água corre mais rápido. O texto nos dá a “lei da velocidade” e quer saber se o recorde de velocidade acontece no meio do cano, na borda ou em algum lugar entre eles.
Simplificação Radical: Pense na fórmula como uma conta de subtração: “Velocidade = 100 menos (alguma coisa)”. Se você quer que a velocidade seja a maior de todas, essa “alguma coisa” que você está tirando deve ser zero. O desafio é identificar qual valor de x faz com que a gente não tire nada do valor original R^2.
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Identificar as constantes: Perceber que K e R não mudam durante a análise.
- Analisar o “inimigo” da velocidade: Isolar o termo -x^2.
- Minimizar o desconto: Descobrir qual valor de x anula o termo que reduz a velocidade.
- Validar geograficamente: Conferir o que esse valor representa na anatomia do tubo.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para esta investigação algébrica, utilizaremos o Dossiê do Escoamento Máximo:
- A Função V(x): V(x) = K^2 * R^2 – K^2 * x^2. Trata-se de uma função do 2º grau.
- Concavidade: Como o termo que acompanha x^2 é negativo (-K^2), o gráfico é uma parábola com a “boca para baixo”. O ponto mais alto (máximo) é o seu Vértice.
- Ponto de Vértice (xv): Para funções do tipo y = ax^2 + c (sem o termo ‘b’), o vértice ocorre sempre em x = 0.
- Domínio Físico: A distância x só pode variar de 0 (centro) até R (parede do tubo).
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
📌 R representa o raio do tubo — portanto, é o valor máximo que x pode alcançar, já que x representa a distância até o centro.
👉 Se x está no centro, sua distância é 0.
👉 Se x está na borda, sua distância é R.
Como queremos o máximo de V, precisamos de:
--> R² – x² → o maior possível
Isso acontece quando x² é o menor possível, ou seja:
x = 0
Aqui está o gráfico da função V(x) = K²(R² – x²), que representa a velocidade de escoamento de uma partícula em função da sua distância até o centro do tubo:
📌 Leitura visual do gráfico:
- O eixo horizontal representa a distância x da partícula até o centro do tubo.
- O eixo vertical representa a velocidade da partícula.
- Quando x=0(ou seja, no centro do tubo), a velocidade é máxima.
- Conforme x se afasta do centro e vai em direção à borda do tubo (x=R), a velocidade diminui até zerar.
✅ Isso confirma a resolução da questão: o valor de x que maximiza é x=0, pois é o único ponto em que o termo negativo é nulo, ou seja, não “rouba” nada do valor máximo.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) 0.
- Análise: Perfeito. Representa a posição central do tubo, onde o termo de resistência radial (-x^2) é nulo, permitindo que a partícula atinja o pico da função.
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
B) R.
- Narrativa do Erro: O aluno acha que “máximo” deve estar associado à maior distância possível.
- Diagnóstico do Erro: Confundir Valor Crítico com Valor de Borda. Em x = R, a velocidade é mínima (zero).
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
C) 2R.
- Narrativa do Erro: O aluno tenta inventar uma relação com o diâmetro do tubo.
- Diagnóstico do Erro: Fuga ao Tema/Domínio. O valor 2R está fora do tubo; não existe partícula escoando ali.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
D) KR.
- Narrativa do Erro: Tentativa de misturar as constantes da fórmula para gerar uma resposta que pareça “complexa”.
- Diagnóstico do Erro: Erro de modelagem matemática.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
E) K^2 * R^2.
- Narrativa do Erro: O aluno resolve o problema, mas responde “o quanto” em vez de “onde”.
- Diagnóstico do Erro: Confundir a Imagem da função com o Domínio da variável (Respondeu o valor de V máximo).
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A resposta final é a Alternativa A. Essa fórmula descreve o chamado Perfil de Velocidade de Poiseuille, fundamental para entender como o sangue corre nas nossas artérias ou como o petróleo viaja nos oleodutos.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“No cano a água voa pelo meio e para na borda: x = 0 é a glória!”
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Este princípio de otimização é usado na Aerodinâmica de Carros de Corrida. O ar que passa bem no centro do aerofólio ou das entradas de ar tem a maior velocidade e menor pressão (Bernoulli), enquanto o ar que “raspa” na lataria sofre fricção e desacelera. Entender onde a velocidade é máxima (x = 0) permite aos engenheiros posicionar sensores de fluxo exatamente no ponto onde a leitura será mais potente.
