O crescimento de uma população de microrganismos é descrito pela expressão K(t) = 81.3t/3 + 2, em que K(t) indica a quantidade de microrganismos em um meio de cultura em função do tempo t. O gráfico representa a evolução de K em relação ao tempo t.
Com base nos dados, o valor de m é:
A) 4/3
B) 7/5
C) 24/5
D) 12
E) 81
✍ Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Matemática (Álgebra): Função Exponencial.
- Potenciação: Propriedades de potências e igualdade de bases.
- Aritmética: Divisão e fatoração.
Tema/Objetivo Geral:
Determinar o valor do tempo (m) em uma função exponencial, a partir de um valor de população (K) fornecido pelo gráfico.
Nível da Questão
Médio. O desafio está em isolar o termo exponencial e realizar a fatoração correta para igualar as bases da equação.
Gabarito
Alternativa D (12). Ao resolvermos a equação exponencial 6563 = 81 * 3^(m/3) + 2, chegamos à relação 3^4 = 3^(m/3), o que resulta em m = 12.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: A missão é descobrir em qual momento exato (m) a população de microrganismos atingiu o número 6563. O gráfico mostra o ponto de chegada, e a fórmula é o nosso mapa.
Simplificação Radical: Pense na função como uma máquina. Você sabe que o resultado que saiu foi 6563. O desafio é desmontar a conta para descobrir qual número m foi colocado na entrada da máquina.
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Substituir os valores conhecidos na fórmula.
- Isolar o termo que contém a potência de 3.
- Transformar ambos os lados na mesma base (base 3).
- Igualar os expoentes para achar o valor de m.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para esta investigação, utilizaremos o Dossiê das Potências:
- Isolamento: Deixar a parte com letra sozinha de um lado da igualdade.
- Fatoração: Lembrar que 81 é o mesmo que 3 * 3 * 3 * 3, ou seja, 3^4.
- Regra da Igualdade: Se as bases são iguais (3 = 3), os expoentes obrigatoriamente também são iguais.
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos executar a desmontagem da equação:
- Substituição:
6563 = 81 * 3^(m/3) + 2 - Retirando o que está somando:
6563 – 2 = 81 * 3^(m/3)
6561 = 81 * 3^(m/3) - Retirando o que está multiplicando:
6561 / 81 = 3^(m/3)
Fazendo a divisão: 81 = 3^(m/3) - Igualando as Bases:
Sabemos que 81 é 3^4. Então:
3^4 = 3^(m/3) - Resolvendo o topo (expoentes):
4 = m / 3
m = 4 * 3
m = 12
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! O erro mais comum é tentar multiplicar o 81 pelo 3 antes de resolver a potência. Você NUNCA pode multiplicar um número por uma base que está “protegida” por um expoente. O 81 deve passar dividindo o outro lado primeiro!
A Bússola (O Perfil do Culpado)
- Síntese do raciocínio: Subtração da constante 2, divisão por 81 e resolução da igualdade exponencial.
- Expectativa: Um valor que, dividido por 3, resulte em 4.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) 4/3
- Narrativa do Erro: O aluno encontra o número 4 no expoente e acha que deve montar uma fração com ele de forma aleatória.
- Diagnóstico do Erro: Erro de finalização algébrica.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
B) 7/5
- Narrativa do Erro: Tentativa de manipular os números do enunciado sem seguir as regras de potenciação.
- Diagnóstico do Erro: Fuga total ao método exponencial.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
C) 24/5
- Narrativa do Erro: Provável erro na divisão de 6561 por 81, resultando em um valor quebrado.
- Diagnóstico do Erro: Erro aritmético básico.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
D) 12
- Análise: Perfeito. É o único valor que satisfaz a igualdade. Quando o tempo é 12, o expoente vira 4, a potência vira 81, e a conta fecha em 6563.
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
E) 81
- Narrativa do Erro: O aluno vê o número 81 no meio do cálculo e o marca por pressa, confundindo o valor da potência com o valor do tempo.
- Diagnóstico do Erro: Confundir o resultado intermediário com o valor da variável.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A resposta final é a Alternativa D. Esta questão mostra como funções exponenciais regem o crescimento biológico: pequenas mudanças no tempo geram saltos gigantescos na população.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“Iguala a base embaixo, resolve o topo em cima, e o tempo m se ilumina!”
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Este mesmo modelo matemático é usado na Criptografia de Dados. A segurança das senhas digitais depende de funções que crescem tão rápido (exponencialmente) que um computador comum levaria bilhões de anos para testar todas as combinações, exatamente como a população de bactérias que explodiu no nosso gráfico em apenas 12 unidades de tempo.
