A senha de um cofre é uma sequência formada por oito dígitos, que são algarismos escolhidos de 0 a 9. Ao inseri-la, o usuário se esqueceu dos dois últimos dígitos que formam essa senha, lembrando somente que esses dígitos são distintos.
Digitando ao acaso os dois dígitos esquecidos, a probabilidade de que o usuário acerte a senha na primeira tentativa é:
a) 2/8
b) 1/90
c) 2/90
d) 1/100
e) 2/100
✍ Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Matemática (Análise Combinatória): Princípio Fundamental da Contagem (Arranjo).
- Matemática (Probabilidade): Definição clássica de probabilidade (Espaço Amostral e Eventos).
Tema/Objetivo Geral:
Calcular a probabilidade de um evento simples em um espaço amostral restrito por uma condição específica (elementos distintos), aplicando o raciocínio de contagem para senhas ordenadas.
Nível da Questão
Fácil. O desafio é apenas identificar corretamente o número de combinações possíveis para os dois dígitos finais, respeitando a regra de que eles não podem ser iguais.
Gabarito
Alternativa B (1/90). Existem 10 opções para o primeiro dígito esquecido e 9 opções para o segundo (pois deve ser diferente do primeiro), totalizando 90 pares possíveis. Como apenas um par é o correto, a chance é de 1 em 90.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: A missão é descobrir qual é a chance de “dar sorte” e abrir o cofre logo de primeira, sabendo que faltam apenas os dois números finais e que eles são, obrigatoriamente, diferentes entre si.
Simplificação Radical: Imagine que você tem um chaveiro com várias chaves parecidas, mas você sabe que nenhuma chave é repetida. O desafio aqui é contar quantas “chaves” (combinações de dois números) existem no total e ver qual a sua chance de pegar a única chave mestre que abre o cofre.
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Contar as opções para o penúltimo dígito: Quantos números podemos escolher?
- Contar as opções para o último dígito: Quantos restam após a restrição?
- Calcular o Espaço Amostral: Multiplicar as opções para achar o total de senhas possíveis.
- Aplicar a fórmula da probabilidade: Colocar o acerto (1) sobre o total de chances.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para esta investigação combinatória, utilizaremos o Dossiê de Contagem de Senhas:
- O Conjunto de Algarismos: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Total = 10 algarismos.
- Princípio Multiplicativo: Se uma decisão pode ser tomada de “n” maneiras e outra de “m” maneiras, as duas juntas podem ser tomadas de “n * m” maneiras.
- A Regra dos “Distintos”: Esta é a pista crucial. Ela retira as opções repetidas (00, 11, 22… 99) do nosso baralho.
- Fórmula da Probabilidade (P): P = (Casos Favoráveis) / (Total de Casos Possíveis).
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos executar a montagem das possibilidades para os dois últimos dígitos:
1. Analisando o 7º Dígito:
Para o primeiro número que o usuário vai digitar, ele tem qualquer um dos 10 algarismos à disposição (0 a 9).
- Opções: 10.
2. Analisando o 8º Dígito (O Xeque-Mate):
O usuário lembra que os dígitos são distintos. Isso significa que o último número NÃO pode ser igual ao que ele acabou de digitar no 7º dígito. Se ele digitou “5”, agora ele só pode escolher entre os outros 9 números restantes.
- Opções: 9.
3. Calculando o Total de Senhas (Espaço Amostral):
Total = 10 * 9 = 90 combinações possíveis.
4. O Evento de Acerto:
Existe apenas UMA senha correta configurada no cofre. O usuário vai fazer apenas uma tentativa aleatória.
- Probabilidade = 1 / 90.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! O erro mais sedutor aqui é a Alternativa D (1/100). O aluno pensa: “são dois dígitos, então é 10 * 10 = 100”. Isso estaria certo se os números pudessem ser iguais (como a senha final sendo 55). Mas o texto diz explicitamente que os dígitos são distintos. A palavra “distintos” joga fora 10 possibilidades (00, 11, 22… 99), mudando o seu denominador de 100 para 90.
A Bússola (O Perfil do Culpado)
- Síntese do raciocínio: Cálculo de arranjo de 10 elementos tomados 2 a 2 para o denominador e 1 tentativa para o numerador.
- Expectativa: A fração 1/90.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
a) 2/8.
- Narrativa do Erro: O aluno tenta usar o número de dígitos da senha (8) e o número de dígitos esquecidos (2) sem qualquer base lógica probabilística.
- Diagnóstico do Erro: Fuga total ao método (Confundir dados do enunciado com probabilidade).
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
b) 1/90.
- Análise: Perfeito. Identifica corretamente que o espaço amostral é reduzido pela condição de distinção (10 * 9) e que há apenas uma chance de acerto.
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
c) 2/90.
- Narrativa do Erro: O aluno acerta o espaço amostral (90), mas acha que, por serem dois dígitos, ele tem “duas chances” ou coloca o 2 no numerador indevidamente.
- Diagnóstico do Erro: Erro na definição do evento favorável (Uma tentativa = um acerto).
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
d) 1/100.
- Narrativa do Erro: O aluno faz a conta padrão de senhas (10 * 10) e ignora a restrição de que os dígitos devem ser diferentes.
- Diagnóstico do Erro: Reducionismo (Descrever o caso geral, ignorando a restrição específica do texto).
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
e) 2/100.
- Narrativa do Erro: O aluno ignora a regra dos distintos e ainda dobra o numerador sem justificativa matemática clara.
- Diagnóstico do Erro: Erro sistêmico de interpretação e cálculo.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A resposta final é a Alternativa B. Esta questão mostra como uma pequena informação adicional (saber que os números são diferentes) aumenta suas chances de sucesso (de 1% para 1,11%).
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“Dígitos diferentes? Tira um do dez! 10 vezes 9 dá o 90 de vez!”
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Este conceito é a base da Criptografia e Cibersegurança. Quando um sistema exige que sua senha tenha caracteres especiais, letras e números, ele está aumentando o “Espaço Amostral” (o nosso denominador). Quanto maior o denominador, menor a probabilidade de um ataque de Brute Force (tentativa e erro) ter sucesso. Se um hacker souber que você nunca repete números na sua senha, ele já economizou tempo de processamento, exatamente como nós fizemos ao descartar os pares repetidos nesta questão.
