Questão 149, caderno azul do ENEM PPL 2021

Em uma fábrica de circuitos elétricos, há diversas linhas de produção e montagem. De acordo com o controle de qualidade da fábrica, as peças produzidas devem seguir um padrão. Em um processo produtivo, nem todas as peças produzidas são totalmente aproveitáveis, ou seja, há um percentual de peças defeituosas que são descartadas. Em uma linha de produção dessa fábrica, trabalham três máquinas, M₁, M₂ e M₃, dia e noite.
A máquina M₁ produz 25% das peças, a máquina M₂ produz 30% e a máquina M₃ produz 45%. O percentual de peças defeituosas da máquina M₁ é de 2%, da máquina M₂ é de 3% e da máquina M₃ é igual a 4%.

A probabilidade de uma peça defeituosa ter sido produzida pela máquina M₂ é mais próxima de:
a) 15,6%
b) 28,1%
c) 43,7%
d) 56,2%
e) 71,8%

📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Probabilidade condicional, porcentagem, regra de Bayes.

📊 Nível da Questão: Médio

📝Tema/Objetivo Geral: Analisar situações com probabilidades condicionais em processos industriais, utilizando a regra de Bayes para identificar a origem de eventos com base em evidências.

🎯 Gabarito: B

Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo

O enunciado informa que três máquinas — M₁, M₂ e M₃ — produzem diferentes porcentagens das peças de uma fábrica, e cada uma delas apresenta uma taxa distinta de defeitos. A questão pede a probabilidade de que uma peça, já sabendo que é defeituosa, tenha sido produzida pela máquina M₂.

O objetivo é encontrar a probabilidade condicional de que uma peça defeituosa tenha vindo da máquina M₂, utilizando os dados fornecidos sobre a proporção de peças produzidas por cada máquina e os percentuais de defeito.

Agora que o comando foi analisado e o objetivo definido, vamos abordar os conceitos e conteúdos necessários.

Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários

Probabilidade condicional é utilizada para determinar a chance de um evento ocorrer sabendo que outro evento já aconteceu. A fórmula usada neste caso é:

P(M₂ | defeituosa) = P(M₂ e defeituosa) / P(defeituosa)

Neste contexto, é necessário calcular:

Quantas peças defeituosas cada máquina produz proporcionalmente.
O total de peças defeituosas produzidas.
A fração que representa as defeituosas da M₂ em relação ao total.

Agora que os conceitos estão claros, vamos interpretar os dados fornecidos no enunciado.

Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto

As máquinas produzem os seguintes percentuais das peças:

M₁: 25%
M₂: 30%
M₃: 45%

E têm os seguintes percentuais de defeito:

M₁: 2%
M₂: 3%
M₃: 4%

Nosso foco é determinar, entre todas as peças defeituosas, qual a chance de uma delas ter sido feita pela M₂.

Vamos agora aplicar esses dados nos cálculos.

Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos

Vamos supor que a fábrica produza x peças.

Peças defeituosas produzidas por cada máquina:

M₁: 0,25 × 0,02 × x = 0,005x
M₂: 0,30 × 0,03 × x = 0,009x
M₃: 0,45 × 0,04 × x = 0,018x

Total de peças defeituosas: 0,005x + 0,009x + 0,018x = 0,032x

A probabilidade de uma peça defeituosa ter sido feita pela M₂ será: P(M₂ | defeituosa) = 0,009x / 0,032x = 0,28125

Convertendo para porcentagem: 0,28125 = 28,1%

Com isso em mãos, vamos agora analisar as alternativas.

Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução

A) 15,6 ❌ Errada. Representa uma probabilidade muito inferior ao valor real de 28,1%.

B) 28,1 ✅ Correta! Corresponde exatamente ao valor obtido pela fórmula de probabilidade condicional, considerando os percentuais de produção e defeitos.

C) 43,7 ❌ Errada. Bem acima do valor real. Isso indicaria uma participação maior da máquina M₂ nas peças defeituosas do que realmente ocorre.

D) 56,2 ❌ Errada. Mais que o dobro do valor correto, completamente incompatível com os dados fornecidos.

E) 71,8 ❌ Errada. Muito acima do valor calculado, desconsidera a distribuição real da produção e defeitos entre as máquinas.

Passo 6: Conclusão e Justificativa Final

Com base nos dados de produção e defeitos, utilizamos a fórmula da probabilidade condicional para calcular a chance de uma peça defeituosa ter sido fabricada pela M₂. O resultado foi de 28,1%, o que corresponde à alternativa B.

🔍 Resumo Final:

Portanto, a alternativa correta é B.
A máquina M₂ produz 30% das peças com 3% de defeitos.
O total de peças defeituosas é 3,2% do total produzido.
A fração de peças defeituosas da M₂ sobre o total de defeituosas é 0,009 / 0,032 = 0,28125.