Uma indústria recortou uma placa de metal no formato triangular ABC, conforme Figura 1, com lados 18, 14 e 12 cm.
Posteriormente, a peça triangular ABC foi dobrada, de tal maneira que o vértice B ficou sobre o segmento AC, e o segmento DE ficou paralelo ao lado AC, conforme figura 2.
Sabe-se que, na Figura 1, o ângulo ACB é menor que o ângulo CAB e este é menor que o ângulo ABC, e que os cortes e dobraduras foram executados corretamente pelas máquinas.
Nessas condições, qual é o valor da soma dos comprimentos, em centímetro, dos segmentos DB, BE e EC?
A) 19
B) 20
C) 21
D) 23
E) 24
✍ Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Plana: Propriedades de Triângulos (Relação entre Lados e Ângulos).
- Geometria das Transformações: Simetria e Dobraduras.
- Semelhança de Triângulos: Teorema Fundamental da Semelhança (Retas Paralelas).
Tema/Objetivo Geral:
Determinar a soma de comprimentos de segmentos em um triângulo após uma operação de dobradura, utilizando a correspondência entre ângulos e lados e as propriedades de proporcionalidade geradas por paralelismo.
Nível da Questão
Médio. O nível é definido pela necessidade de organizar os dados do enunciado (quem é o lado AB, BC e AC) com base em uma desigualdade de ângulos, e pela visão espacial para perceber que a dobra divide os lados originais pela metade.
Gabarito
Alternativa B (20). Identificamos que AB = 12 cm e BC = 14 cm. Pela dobra ser paralela à base e o vértice tocar o lado oposto, os pontos D e E são pontos médios. Assim, DB = 6 cm, BE = 7 cm e EC = 7 cm, resultando em 20 cm.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: A missão é descobrir o “perímetro parcial” de uma nova forma geométrica criada por uma dobra. Precisamos somar três pedaços: DB, BE e EC. O segredo é saber o tamanho original dos lados do triângulo e como a dobra os repartiu.
Simplificação Radical: Imagine que você tem um triângulo de metal e o “amassa” para baixo. O bico de cima (B) toca o chão (AC). O desafio é identificar qual lado é qual (já que o desenho pode enganar) e notar que essa dobra “deitou” metade do triângulo sobre a outra metade.
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Identificar os Lados: Usar a regra “maior ângulo / maior lado” para nomear AB, BC e AC.
- Interpretar a Dobra: Provar que os pontos D e E são pontos médios dos lados originais.
- Calcular as Medidas: Dividir os valores encontrados no passo 1 e somar conforme o pedido.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para esta perícia geométrica, utilizaremos o Dossiê das Relações Triangulares:
- Regra da Oposição: O menor lado está sempre de frente para o menor ângulo. O maior lado, de frente para o maior ângulo.
- Teorema da Dobra Paralela: Se você dobra um triângulo de forma que o topo toque a base e a linha da dobra seja paralela à base, essa linha é a Base Média.
- Propriedade da Base Média: Ela liga os pontos médios dos lados. Logo, ela divide os lados laterais exatamente na metade.
Ficha Técnica das Medidas (Dados 12, 14, 18):
- Ângulo C (menor) -> Lado AB (menor) = 12 cm.
- Ângulo A (médio) -> Lado BC (médio) = 14 cm.
- Ângulo B (maior) -> Lado AC (maior) = 18 cm.
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos organizar agora as informações visuais:
1- Dobra construída sobre a altura
Nesta figura, observamos:
- A altura partindo de B até a base AC
- O vértice B sendo dobrado ao longo dessa altura
- A formação dos novos pontos D e E, conectados por um segmento vermelho (DE) que é paralelo à base AC
Esse paralelismo é o que confirma a semelhança entre os triângulos.
2- Nomeação dos ângulos e lados
Aqui vemos os lados classificados conforme os ângulos:
- AB = 12 cm
- BC = 14 cm
- AC = 18 cm
Agora vamos aplicar!
1- Destaque do lado BC reconstruído
Após a dobra, o caminho de B até C é percorrido em dois segmentos:
- BE, que vai até a base
- EC, que finaliza até o ponto C
Como BE + EC cobre o mesmo caminho que o antigo lado BC, temos:
- BE+EC=BC=14 cm
2- Triângulo semelhante DBE
O triângulo DBE:
- Possui os mesmos ângulos que o triângulo ABC (por semelhança)
- Foi formado após a dobra da altura, então tem metade da altura
- O lado DB corresponde ao lado AB do triângulo original
Como AB = 12 cm, e a dobra cortou a altura ao meio: DB=12/2=6 cm
🧮 Agora somamos:
- DB+BE+EC=6+14=20 cm
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) 19
- Narrativa do Erro: O aluno pode ter identificado erroneamente os lados ou cometido um erro sutil na divisão dos 14 cm.
- Diagnóstico do Erro: Erro aritmético básico ou identificação incorreta de vértices.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
B) 20
- Análise: Perfeito. Segue a lógica de oposição de ângulos/lados (AB=12, BC=14) e aplica corretamente a propriedade dos pontos médios após a dobra (6 + 7 + 7).
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
C) 21
- Narrativa do Erro: O aluno assume que DB é metade de BC (14/2=7) e que BE+EC é 14.
- Diagnóstico do Erro: Inversão de Lados (Confundiu o lado oposto ao ângulo C com o lado oposto ao ângulo A).
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
D) 23
- Narrativa do Erro: O aluno tenta somar segmentos inteiros com metades de forma aleatória, sem seguir a lógica da dobra.
- Diagnóstico do Erro: Fuga ao método geométrico.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
E) 24
- Narrativa do Erro: O aluno soma valores aproximados ou tenta relacionar com o perímetro total de forma confusa.
- Diagnóstico do Erro: Erro sistêmico de interpretação.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A resposta final é a Alternativa B. Esta questão é brilhante pois une a rigidez algébrica (os números) com a fluidez da geometria (a dobradura).
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“Menor ângulo vê o 12; a dobra corta ele no meio (6). O 14 vira duas metades (7+7). 6 mais 14 deu 20 e o detetive não se esquece!”
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Este mesmo princípio de “Dobraduras e Pontos Médios” é a base da Engenharia de Embalagens e do Design de Móveis Dobráveis. Para criar uma caixa ou uma cadeira que se fecha perfeitamente, os projetistas usam a geometria das retas paralelas e simetria para garantir que as quinas (vértices) se encaixem nos pontos médios dos suportes, exatamente como o vértice B se encaixou perfeitamente sobre o lado AC.
