A escala de temperatura Delisle (°D), inventada no século XVIII pelo astrônomo francês Joseph-Nicholas Delisle, a partir da construção de um termômetro, foi utilizada na Rússia no século XIX. A relação entre as temperaturas na escala Celsius (°C) e na escala Delisle está representada no gráfico pela reta que passa pelos pontos A e B.
Qual é a relação algébrica entre as temperaturas nessas duas escalas?
A) 2D + C = 100
B) 2D + 3C = 150
C) 3D + 2C = 300
D) 2D + 3C = 300
E) 3D + 2C = 450
✍ Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Matemática (Álgebra): Função Afim (Função do 1º Grau) e Modelagem de Equações.
- Física (Termometria): Relação entre escalas termométricas.
- Geometria Analítica: Equação da reta a partir de dois pontos.
Tema/Objetivo Geral:
Determinar a relação algébrica entre duas variáveis (Escalas Celsius e Delisle) a partir da interpretação de um gráfico linear no plano cartesiano.
Nível da Questão
Médio. O nível é justificado pela necessidade de extrair as coordenadas dos pontos do gráfico e realizar uma manipulação algébrica final para ajustar a função encontrada ao formato das alternativas fornecidas.
Gabarito
Alternativa D (2D + 3C = 300). Através dos pontos (0, 150) e (100, 0), construímos a função D = -1,5C + 150. Ao reorganizarmos os termos e multiplicarmos por 2, chegamos à equação padronizada da alternativa.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: A missão é descobrir o “código secreto” (a fórmula) que traduz uma temperatura de Celsius para Delisle. O gráfico nos deu duas dicas fundamentais de tradução: quando uma é zero, quanto vale a outra?
Simplificação Radical: Pense nisso como uma regra de conversão de moedas. O gráfico nos diz que “0 reais valem 150 dols” e “100 reais valem 0 dols”. O desafio é montar a conta matemática que funciona para qualquer valor, não apenas para esses dois.
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Identificar os pontos: Ler as coordenadas A e B no gráfico.
- Montar a estrutura da reta: Usar a fórmula base y = ax + b.
- Calcular a inclinação (a) e o ponto de partida (b).
- Lapidar a fórmula: Transformar a equação no formato “Soma = Resultado” que as alternativas pedem.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para esta investigação matemática, utilizaremos o Dossiê da Função Afim:
- O Formato Padrão: D = a * C + b.
- O Coeficiente Linear (b): É onde a reta “fura” o eixo vertical (eixo D). Se no ponto A o Celsius é zero, o valor de Delisle (150) é o nosso b.
- O Coeficiente Angular (a): É a inclinação. Diz quanto o Delisle cai para cada grau Celsius que aumenta.
- Cálculo: a = (Variação de D) / (Variação de C).
- Ajuste de Formato: Se a resposta tiver decimais, multiplicamos a equação inteira por um número comum para deixá-la com números inteiros (como nas alternativas).
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos extrair as provas do gráfico:
- Ponto A (0, 150): Significa que quando C = 0, D = 150.
- Conclusão: b = 150.
- Ponto B (100, 0): Significa que quando C = 100, D = 0.
- Calculando a inclinação (a):
- A temperatura Delisle caiu de 150 para 0 (Variação = -150).
- A temperatura Celsius subiu de 0 para 100 (Variação = 100).
- a = -150 / 100 = -1,5.
- Montando a Equação:
- D = -1,5 * C + 150.
- Transformando para o padrão das alternativas:
- Passamos o C para o lado do D: D + 1,5C = 150.
- Para sumir com o “1,5”, multiplicamos tudo por 2:
- 2 * (D + 1,5C) = 2 * (150)
- 2D + 3C = 300.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! O erro mais comum aqui é ignorar o sinal negativo da inclinação. Como a reta está “descendo”, o coeficiente angular deve ser negativo. Se você usar 1,5 positivo, chegará a uma equação que não existe nas alternativas ou marcaria um valor invertido. Lembre-se: Reta para baixo = Valor de “a” negativo!
A Bússola (O Perfil do Culpado)
- Síntese do raciocínio: Uma reta que começa em 150 e zera em 100 possui uma relação de 1,5 para 1 entre as escalas.
- Expectativa: Uma equação onde o triplo de C somado ao dobro de D resulte em 300.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) 2D + C = 100
- Narrativa do Erro: O aluno tenta forçar os números do gráfico (100) sem calcular a inclinação correta entre os eixos.
- Diagnóstico do Erro: Erro de Proporcionalidade (Se C=100, D seria 0; aqui daria 0+100=100, ok. Mas se C=0, D seria 50, o que contradiz o ponto A que é 150).
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
B) 2D + 3C = 150
- Narrativa do Erro: O aluno acerta a proporção dos coeficientes (2 e 3), mas confunde o valor do termo independente (b).
- Diagnóstico do Erro: Erro de Escala (Esta reta cruzaria o eixo D em 75, não em 150).
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
C) 3D + 2C = 300
- Narrativa do Erro: O aluno inverte a posição dos coeficientes, achando que o 3 acompanha o D.
- Diagnóstico do Erro: Inversão de Variáveis (Esta equação diz que quando C=0, D=100, mas o gráfico diz que D=150).
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
D) 2D + 3C = 300
- Análise: Perfeito. Se testarmos o Ponto A (C=0): 2D + 0 = 300 -> D=150 (Confere!). Se testarmos o Ponto B (D=0): 0 + 3C = 300 -> C=100 (Confere!).
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
E) 3D + 2C = 450
- Narrativa do Erro: O aluno tenta multiplicar o ponto A (150) por 3 para gerar o resultado final, sem lógica matemática sólida.
- Diagnóstico do Erro: Desvio total do método de modelagem linear.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A resposta final é a Alternativa D. Essa questão nos mostra que as escalas de temperatura são apenas formas diferentes de fatiar a mesma realidade física, e a matemática é a ponte que une essas visões.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“O b é 150, desce um e meio por vez; dobra tudo pra ficar bonito e o 300 aparece de vez!”
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Este princípio de modelagem linear é o que permite que softwares de Simulação de Clima ou Engenharia de Materiais convertam dados de sensores analógicos (como voltagem) em dados digitais (como temperatura ou pressão). Na Programação de Jogos, essa mesma álgebra de reta é usada para fazer o “Fade Out” (o escurecimento da tela): a luz começa em 100% (ponto A) e cai linearmente até 0% (ponto B) conforme o tempo passa.
