Um túnel viário de uma única via possui a entrada na forma de um triângulo equilátero de lado 6 m. O motorista de um caminhão com 3 m de largura deve decidir se passa por esse túnel ou se toma um caminho mais longo. Para decidir, o motorista calcula a altura que esse caminhão deveria ter para tangenciar a entrada do túnel. Considere o caminhão como um paralelepípedo reto. Essa altura, em metro, é
✍ “Resolução Em Texto”
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Geometria Plana (Triângulos Equiláteros e Semelhança de Triângulos).
Trigonometria Básica (Cálculo de Altura).
Tema/Objetivo Geral:
Encontrar a altura máxima de um objeto retangular (caminhão) inscrito em um triângulo equilátero (túnel), utilizando proporções geométricas.
Nível da Questão
Médio.
Requer que o aluno lembre (ou deduza) a fórmula da altura do triângulo equilátero e tenha a visão espacial para aplicar semelhança de triângulos.
Gabarito
Letra E (3√3 / 2).
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
Precisamos descobrir qual a altura máxima que um caminhão pode ter para passar raspando (tangenciando) o teto de um túnel triangular.
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine uma barraca de camping triangular. Você quer colocar uma caixa grande dentro dela.
- A barraca tem 6 metros de largura no chão.
- A caixa tem 3 metros de largura.
Quanto mais larga a caixa, mais baixa ela precisa ser para não bater nas paredes inclinadas da barraca. A pergunta é: qual a altura limite dessa caixa?
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- A Altura Total: Calcular qual é a altura total do túnel (do chão até o pico).
- A Proporção: Comparar a largura do caminhão com a largura do túnel para descobrir quanto espaço sobra no topo.
- A Subtração: Deduzir a altura do caminhão.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Ferramenta 1: A Fórmula da Altura
Todo triângulo equilátero de lado L tem uma altura H calculada por:
H = (L√3) / 2
Ferramenta 2: Semelhança de Triângulos (O Triângulo de Cima)
Uma imagem poderosa pode transformar um conceito abstrato em uma memória inesquecível. A ilustração a seguir foi criada para visualizar a essência da nossa análise, tornando a ideia central clara e impactante:
(O Recorte Geométrico): Observe a imagem acima. O caminhão é um retângulo colocado dentro do triângulo. Note que, em cima do teto do caminhão, sobra um triângulo pequeno (a ponta do túnel).
A regra de ouro é: O triângulo pequeno da ponta é SEMELHANTE ao triângulo grande do túnel.
Isso significa que se a base do triângulo pequeno for a metade da base do grande, a altura dele também será a metade.
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos calcular passo a passo.
1. Calculando a Altura Total do Túnel (H)
O lado do triângulo (L) é 6 metros.
Usando a fórmula:
H = (6√3) / 2
H = 3√3 metros.
(Essa é a altura do chão até o bico mais alto do túnel).
2. A Análise da Largura (A Chave da Questão)
- Largura do Túnel (Base Grande) = 6 m.
- Largura do Caminhão (Base Pequena) = 3 m.
Perceba a relação:
O caminhão ocupa exatamente a metade da largura do túnel (3 é metade de 6).
3. Aplicando a Semelhança no “Triângulo de Cima”
Olhe novamente para a imagem. O triângulo que sobra em cima do caminhão tem como base a largura do próprio caminhão (3 m).
Se a base desse triângulo pequeno (3 m) é a metade da base do triângulo grande (6 m), então:
A altura desse triângulo pequeno é a metade da altura total.
- Altura do triângulo pequeno = Metade de 3√3 = (3√3) / 2.
4. A Altura do Caminhão
A altura do caminhão é a parte de baixo que sustenta esse triângulo pequeno.
Se o triângulo pequeno ocupa a metade de cima, o caminhão ocupa a metade de baixo.
Logo, Altura do Caminhão = Metade da Altura Total.
Altura do Caminhão = (3√3) / 2.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! Muitos alunos calculam a altura total (3√3) e marcam a alternativa C, esquecendo que o caminhão não vai até o bico do túnel (senão ele teria largura zero!). Ele para na metade do caminho.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: O túnel tem altura 3√3. O caminhão tem metade da largura do túnel, logo, ele só consegue subir até a metade da altura.
- Expectativa: Procurar a alternativa que mostra a metade de 3√3.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) 3.
Diagnóstico do Erro: Confusão com Lados.
O aluno pode ter pensado: “Se a base é 6 e o caminhão é 3, a altura deve ser metade do lado”. Porém, a altura de um triângulo equilátero não é igual ao lado.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) 3√2.
Diagnóstico do Erro: Fórmula Errada.
Confundiu a fórmula da altura do triângulo (√3) com a diagonal do quadrado (L√2).
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C) 3√3.
Diagnóstico do Erro: Otimismo Exagerado.
Calculou corretamente a altura total do túnel, mas esqueceu que o caminhão tem largura e não pode chegar até o topo agudo.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D) (3√2) / 2.
Diagnóstico do Erro: Fórmula Errada + Raciocínio Certo.
O aluno acertou que o caminhão ocupa a metade da altura, mas usou a raiz errada (√2 em vez de √3).
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) (3√3) / 2.
Análise de Correspondência:
Cálculo perfeito. A altura total é 3√3. Como a base do caminhão (3) é metade da base do túnel (6), a altura ocupada é metade da altura total.
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento:
A resposta é a Alternativa E, pois a geometria do triângulo equilátero dita que, ao ocuparmos metade da base (3m de 6m), ficamos restritos a ocupar exatamente metade da altura disponível (metade de 3√3).
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“Se o caminhão é gordo e ocupa metade da pista, ele só consegue subir até o 1º andar do túnel de 2 andares.”
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Este problema é um exemplo clássico de Gabarito de Passagem em engenharia civil e transportes. Estradas e ferrovias possuem um “gabarito estático” (o tamanho máximo do veículo). Se um trem for mais largo, ele precisa ser mais baixo para passar em túneis antigos em arco ou triangulares. É por isso que vagões de carga modernos de dois andares (double-stack) exigem obras para aumentar a altura dos túneis.
