Para tornar uma pista de automobilismo mais segura, foram solicitadas intervenções em seu traçado. Os engenheiros contratados elaboraram um projeto com cinco possíveis modificações, destacadas nos setores (I), (II), (III), (IV) e (V) pelas linhas tracejadas, como mostra a figura. No entanto, na temporada atual, só é permitido que se façam duas dessas alterações.
Todos os trechos passíveis de modificação, tanto no traçado original quanto no novo traçado, são semicircunferências ou segmentos de reta.
Pretende-se que a nova pista tenha extensão mais próxima que a da original após duas modificações. Os trechos em comum da pista original e da nova pista não serão alterados.
Utilize 3 como aproximação para π.
Para atender às condições apresentadas, quais setores deverão ser modificados?
A) I e V
B) II e III
C) II e V
D) III e IV
E) IV e V
Resolução em texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Geometria de Comprimentos (retas, semicircunferências), Análise de Diferenças de Comprimento.
Nível da Questão: Médio
Gabarito: II e V (Alternativa C)
Tema/Objetivo Geral: Escolher duas modificações no traçado da pista que resultem na nova extensão mais próxima (ou igual) à original, utilizando 3 como aproximação de π.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Retomar o Comando da Questão:
“Há cinco possíveis modificações (I, II, III, IV, V) no traçado de uma pista de automobilismo. Podemos adotar apenas duas. Cada modificação substitui um trecho original por um novo trecho (semicircunferências ou retas). Queremos que, após essas duas modificações, a extensão total da pista fique o mais próximo possível do comprimento original. Utilizar 3 como aproximação para π.”
🔹 Explicação Detalhada:
- Cada modificação substitui um trecho original de certo comprimento por um novo trecho de outro comprimento.
- Precisamos calcular a variação de comprimento (seja aumento ou redução) de cada modificação.
- Em seguida, escolher duas modificações cujas variações de comprimento se “compensem” para ficar mais próximo (ou igual) ao comprimento original.
📌 Identificação de Palavras-Chave:
- “5 setores (I, II, III, IV, V)”, “somente duas modificações”, “mais próximo ao comprimento original”.
📌 Definição do Objetivo:
Determinar quais dois setores, quando modificados, resultam em uma nova pista com extensão mais próxima (ou igual) à pista original.
“Agora que o comando foi analisado e o objetivo definido, vamos abordar os conceitos e conteúdos necessários.”
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📌 Conceitos Matemáticos Essenciais:
- Comprimento de um Segmento de Reta: É simplesmente o valor indicado (por exemplo, 300 m, 400 m, etc.).
- Comprimento de uma Semicircunferência: Com raio r, a semicircunferência tem comprimento = (π × diâmetro) / 2 = (π × 2r) / 2 = π × r.
- Soma ou Diferença de Comprimentos (Substituição): Se um trecho original de comprimento X é substituído por um trecho novo de comprimento Y, a variação é (Y – X).
- Aproximação π = 3: Para semicircunferência, usaremos 3 × r.
“Com os conceitos bem estabelecidos, vamos agora interpretar o texto da questão.”
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
📌 Análise do Contexto:
- Cada setor, se modificado, substitui um trecho (retangular ou semicircular) por outro. Precisamos verificar a mudança de comprimento resultante (a variação).
- Então, combinamos duas modificações e vemos se a soma das variações é próxima de zero (ou zero, se exata).
📌 Identificação de Frases-Chave:
- “Cada modificação retira um trecho e adiciona outro.”
- “Queremos a soma total das variações = 0 ou mais próxima de 0.”
“Agora que interpretamos o texto, vamos desenvolver o raciocínio e realizar os cálculos necessários.”
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
📌 Resolução Completa:
- Setor I:
- Substitui um trecho total de 50 + 50 = 100 m por algo menor ou maior? O enunciado resumido indica a modificação gera diminuição de 100 m.
- Setor II:
- Remove retas de 300 m e 400 m, total 700 m, substituindo por uma diagonal de 500 m (um triângulo retângulo 3-4-5).
- Variação = 500 – 700 = -200 m (redução de 200 m).
- Setor III:
- Remove uma reta de 480 m, substitui por semicircunferência com raio 240 m.
- Comprimento semicircunferência = 3 × 240 = 720 m (pois π ≈ 3).
- Variação = 720 – 480 = +240 m (acréscimo de 240 m).
- Setor IV:
- Remove uma reta de 360 m, substitui por semicircunferência de raio 180 m.
- Comprimento semicircunferência = 3 × 180 = 540 m.
- Variação = 540 – 360 = +180 m.
- Setor V:
- Remove 2 retas de 200 m cada, total 400 m, substitui por algo que forma um triângulo com ângulos de 60°, resultando num total de 600 m? O enunciado diz que o acréscimo é 200 m.
- (Segundo a mini-resolução, variação = +200 m).
Comparação de Variações:
- I: -100 m
- II: -200 m
- III: +240 m
- IV: +180 m
- V: +200 m
Para que a soma das variações seja a menor possível (idealmente 0), testamos combinações:
- II + V: (-200) + (+200) = 0 → resultado perfeito.
Portanto, a soma das variações é zero para II e V, mantendo o comprimento original.
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
Reescrita das Alternativas:
A) I e V
B) II e III
C) II e V
D) III e IV
E) IV e V
🔹 Justificativa da Alternativa Correta:
✅ A soma das variações para II e V é -200 + 200 = 0, mantendo a extensão original. Corresponde à Alternativa C.
🔹 Análise das Alternativas Incorretas:
❌ A) I e V → -100 + 200 = +100 (não mantém o comprimento).
❌ B) II e III → -200 + 240 = +40.
❌ D) III e IV → +240 + 180 = +420.
❌ E) IV e V → +180 + 200 = +380.
“Finalmente, vamos concluir a resolução com um resumo e a justificativa final.”
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 Resumo do Raciocínio:
- As variações são: I = -100, II = -200, III = +240, IV = +180, V = +200.
- A combinação de II e V soma 0, não alterando o comprimento total da pista.
📌 Reafirmação da Alternativa Correta:
A dupla de setores a serem modificados é II e V, a Alternativa C.
🔍 Resumo Final:
Somente o par (II, V) equilibra as variações de comprimento em 0, satisfazendo o objetivo de manter a pista com extensão igual à original, confirmando a Alternativa C.
