Um curso preparatório para concursos tem duas turmas, A e B. Do total de alunos, 54% estão na turma A. A direção do curso decidiu pagar um bônus salarial aos professores dessas turmas, de acordo com a probabilidade de um aluno do curso, escolhido ao acaso, ser aprovado no concurso. Foi estabelecida a tabela que indica como o bônus seria definido.
Para calcular a probabilidade desejada, foi aplicado um simulado anterior ao concurso. Nele, o percentual de aprovados da turma A foi de 25%, enquanto houve uma aprovação de 40% para os alunos da turma B.
Dessa forma, os professores desse curso devem receber o bônus
A) I.
B) II.
C) III.
D) IV.
E) V
✍ “Resolução Em Texto”
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Probabilidade (Teorema da Probabilidade Total).
Matemática Básica (Porcentagem e Operações com Decimais).
Tema/Objetivo Geral:
Calcular uma probabilidade global a partir de dois subgrupos diferentes (média ponderada), interpretando dados estatísticos para tomar uma decisão baseada em uma tabela de referência.
Nível da Questão
Médio (Operacional).
Embora o conceito seja simples, o aluno precisa ter atenção para encontrar o tamanho da Turma B (dado implícito) e precisão na multiplicação de números decimais. Um erro na vírgula destrói a resposta.
Gabarito
Letra C (Bônus III).
O cálculo da probabilidade total resulta em 31,9%, valor que se encontra no intervalo correspondente ao Bônus III.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
A missão é descobrir a taxa geral de aprovação da escola inteira (juntando as duas turmas) e verificar em qual “gaveta” (faixa de bônus) esse número se encaixa.
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine que você está misturando dois sucos para fazer um ponche.
- O Suco A (Turma A) é mais abundante, mas é mais “fraco” (menos aprovados).
- O Suco B (Turma B) tem menos quantidade, mas é mais “concentrado” (mais aprovados).
O verdadeiro desafio aqui é descobrir qual será a concentração final quando misturarmos tudo no mesmo balde. Não basta somar as porcentagens, precisamos considerar o “peso” de cada turma.
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Definir os Tamanhos: Descobrir qual a porcentagem de alunos na Turma B (que está oculta).
- Calcular os Aprovados de A: Quantos % do total vêm da turma A?
- Calcular os Aprovados de B: Quantos % do total vêm da turma B?
- A Grande Soma: Somar as duas partes para achar a taxa total.
- O Veredito: Consultar a tabela e marcar o bônus.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para resolver isso, usaremos o conceito de Árvore de Probabilidades (ou Partição).
Visualização Lógica (A Árvore do Concurso):
Imagine todos os alunos da escola reunidos. Vamos separá-los em dois grupos e depois filtrar quem passou:
- RAMO 1 (Turma A): Tamanho da Turma × Taxa de Aprovação da Turma.
- RAMO 2 (Turma B): Tamanho da Turma × Taxa de Aprovação da Turma.
A Fórmula Intuitiva:
Probabilidade Total = (Parte A × Aprovação A) + (Parte B × Aprovação B)
Isso é, na prática, uma Média Ponderada.
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos executar o plano passo a passo.
Passo A: Encontrando a Turma B
O enunciado diz que a Turma A tem 54% dos alunos.
Como só existem duas turmas, a Turma B é o resto.
100% – 54% = 46%
Logo, Turma B = 46% (ou 0,46).
Passo B: Calculando os Aprovados da Turma A
A Turma A representa 0,54 do total. Desses, 25% (0,25) passaram.
Dica Ninja: 25% é a mesma coisa que dividir por 4.
0,54 × 0,25 = 0,135
Isso significa que 13,5% do total de alunos são aprovados vindos da Turma A.
Passo C: Calculando os Aprovados da Turma B
A Turma B representa 0,46 do total. Desses, 40% (0,40) passaram.
Vamos multiplicar:
0,46 × 0,40
(Dica: Faça 46 × 4 = 184, depois ajuste as casas decimais).
Resultado: 0,184.
Isso significa que 18,4% do total de alunos são aprovados vindos da Turma B.
Passo D: A Grande Soma (Probabilidade Total)
Agora juntamos os dois grupos de aprovados:
13,5% + 18,4% = 31,9%
A probabilidade de um aluno qualquer ser aprovado é 31,9%.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! O erro mais comum aqui é o aluno somar as taxas de aprovação (25% + 40%) ou tirar a média simples delas (somar e dividir por 2). Isso é proibido porque as turmas têm tamanhos diferentes! Você precisa ponderar pelo tamanho da turma (multiplicar pela porcentagem de alunos).
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: Encontramos o valor exato de 31,9%. Agora precisamos olhar a tabela.
- Expectativa: O valor 31,9 está entre 20 e 35. Logo, procuramos a alternativa que indica essa faixa.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
Vamos olhar a tabela do enunciado:
- I: 0 a 10
- II: 10 a 20
- III: 20 a 35 (Aqui está o nosso 31,9!)
- IV: 35 a 50
- V: 50 a 100
Análise das Alternativas:
A) I.
Diagnóstico do Erro: Intervalo Incorreto.
Esta faixa vai apenas até 10%. Nosso resultado (31,9%) é muito maior.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) II.
Diagnóstico do Erro: Intervalo Incorreto.
Esta faixa vai até 20%. Ainda é pouco. Talvez o aluno que calculou apenas a parte da turma B (18,4%) marcasse essa.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C) III.
Análise de Correspondência:
O intervalo é: 20 ≤ P < 35.
Nosso valor P = 31,9.
Como 20 < 31,9 < 35, o encaixe é perfeito. O bônus deve ser o III.
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
D) IV.
Diagnóstico do Erro: Intervalo Incorreto.
Começa em 35%. Nosso valor não atingiu esse patamar.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) V.
Diagnóstico do Erro: Otimismo Exagerado.
Faixa acima de 50%. Isso só aconteceria se a maioria absoluta dos alunos passasse, o que não é o caso.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento:
A resposta correta é a Alternativa C, pois a média ponderada das aprovações das duas turmas resulta em 31,9%, caindo exatamente na terceira faixa da tabela.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“Para achar a média do grupo, respeite o peso de cada um: multiplique a parte pelo todo e só depois some tudo.”
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Este problema usa o mesmo princípio das Pesquisas Eleitorais. Quando você vê “Candidato X tem 30% das intenções”, esse número é calculado pegando pequenos grupos (homens, mulheres, jovens, idosos), multiplicando pelo peso que eles têm na população real e somando tudo. Se a pesquisa ignorar o peso dos grupos (ex: entrevistar só idosos), o resultado será distorcido (assim como seria se calculássemos a média simples aqui).
