Sete países americanos, Argentina, Brasil, Canadá, Chile, Estados Unidos, Paraguai e Uruguai; e sete países europeus, Portugal, Espanha, França, Inglaterra, Itália, Alemanha e Suíça, decidem criar uma comissão com representantes de oito desses países, objetivando criar políticas de incentivo e regulação do turismo entre eles.
Na hipótese de criação da comissão, serão escolhidos aleatoriamente quatro representantes de países das Américas e quatro representantes de países europeus, não podendo estar na comissão dois representantes de um mesmo país.
Qual é a probabilidade de o Brasil e a França pertencerem a essa comissão?
Resolução em texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Análise Combinatória e Probabilidade.
Nível da Questão: Médio.
Gabarito: (16 / 49) (Alternativa E).
Tema/Objetivo Geral (Opcional): Calcular a probabilidade de dois países específicos (Brasil e França) serem escolhidos simultaneamente para integrar uma comissão de oito países (quatro das Américas e quatro da Europa), considerando que não pode haver dois representantes do mesmo país.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Retomar o Comando da Questão:
“Sete países das Américas (incluindo o Brasil) e sete da Europa (incluindo a França) formarão uma comissão de oito países: quatro das Américas e quatro da Europa. Cada país pode ter apenas um representante. Qual é a probabilidade de o Brasil e a França estarem ambos na comissão?”
🔹 Explicação Detalhada:
- São sete países americanos e sete europeus.
- A comissão terá quatro países das Américas e quatro da Europa.
- Precisamos descobrir a probabilidade de, ao selecionar esses oito países, o Brasil (América) e a França (Europa) sejam incluídos ao mesmo tempo.
📌 Identificação de Palavras-Chave:
- “Comissão de 8 países”, “4 das Américas”, “4 da Europa”, “Brasil e França”.
📌 Definição do Objetivo:
- Encontrar a probabilidade de Brasil (entre 7 americanos) e França (entre 7 europeus) serem escolhidos simultaneamente na seleção de 4 americanos e 4 europeus.
“Agora que o comando foi analisado e o objetivo definido, vamos abordar os conceitos e conteúdos necessários.”
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📌 Conceitos Matemáticos Essenciais:
- Combinação de n elementos tomados k a k
- Em notação combinatória, o número de maneiras de escolher k elementos distintos de um total de n é representado como C(n, k).
- Probabilidade (eventos simultâneos):
- Se queremos a probabilidade de um evento que depende de escolhas independentes (por exemplo, a escolha de Brasil entre 4 de 7 e a escolha de França entre 4 de 7), podemos considerar a razão entre o número de seleções favoráveis e o total de seleções possíveis.
🔹 Fórmulas e Definições (em letras comuns):
- C(n, k) = n! / [k! × (n – k)!]
- Probabilidade = (número de casos favoráveis) / (número total de casos)
“Com os conceitos bem estabelecidos, vamos agora interpretar o texto da questão.”
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
📌 Análise do Contexto:
- Precisamos separar o problema em duas partes: seleção de 4 países entre 7 da América e 4 entre 7 da Europa.
- O evento “Brasil e França na comissão” significa que o Brasil foi escolhido no bloco das Américas e a França foi escolhida no bloco das Europas.
🔹 Identificação de Frases-chave:
- “não pode haver dois representantes do mesmo país” (isso confirma que é 1 país = 1 representante).
- “sete países americanos, sete países europeus” → 4 escolhidos de cada bloco.
🔹 Tradução para Termos Matemáticos:
- Total de maneiras de escolher 4 americanos de 7 e 4 europeus de 7.
- Maneiras de escolher com Brasil e França fixos.
“Agora que interpretamos o texto, vamos desenvolver o raciocínio e realizar os cálculos necessários.”
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
📌 Resolução Completa:
- Total de seleções (denominador):
- Selecionar 4 países entre 7 americanos: C(7, 4).
- Selecionar 4 países entre 7 europeus: C(7, 4).
- Número total de comissões: C(7, 4) × C(7, 4).
- Seleções favoráveis (Brasil e França na comissão):
- No bloco das Américas, o Brasil deve estar presente. Então precisamos escolher os outros 3 de 6 (excluindo o Brasil).
- Número de modos: C(6, 3).
- No bloco da Europa, a França deve estar presente. Então precisamos escolher os outros 3 de 6 (excluindo a França).
- Número de modos: C(6, 3).
- Multiplicando: C(6, 3) × C(6, 3).
- No bloco das Américas, o Brasil deve estar presente. Então precisamos escolher os outros 3 de 6 (excluindo o Brasil).
- Cálculo das Combinações:
- C(7, 4) = 7! / [4! × 3!] = (7 × 6 × 5) / (3 × 2 × 1) = 35.
- C(6, 3) = 6! / [3! × 3!] = (6 × 5 × 4) / (3 × 2 × 1) = 20.
- Probabilidade:
- Probabilidade = [C(6, 3) × C(6, 3)] / [C(7, 4) × C(7, 4)].
- Substituindo valores: [20 × 20] / [35 × 35].
- (20 / 35) = (4 / 7).
- Então a fração resultante = (4 / 7) × (4 / 7) = (16 / 49).
“Com os cálculos realizados, vamos agora analisar as alternativas apresentadas.”
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
📌 Reescrita e Análise das Alternativas:
- A) (1 / 182)
- B) (1 / 49)
- C) (1 / 4)
- D) (1 / 13)
- E) (16 / 49)
🔹 Justificativa da Alternativa Correta:
✅ O resultado do raciocínio é (16 / 49), que coincide com a Alternativa E.
🔹 Análise das Alternativas Incorretas:
❌ As outras frações não correspondem ao cálculo de (4 / 7) × (4 / 7).
“Finalmente, vamos concluir a resolução com um resumo e a justificativa final.”
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 Resumo do Raciocínio:
- Total de formas de escolher 4 das Américas e 4 da Europa: C(7, 4) × C(7, 4) = 35 × 35.
- Formas favoráveis (Brasil e França presentes): C(6, 3) × C(6, 3) = 20 × 20.
- Probabilidade = (20 × 20) / (35 × 35) = (400) / (1225) = (16 / 49).
📌 Reafirmação da Alternativa Correta:
A probabilidade é (16 / 49), correspondente à Alternativa E.
🔍 Resumo Final:
O cálculo combinatório mostra que a chance de Brasil e França serem escolhidos simultaneamente é (16 / 49).
