Um professor de matemática desenvolveu uma atividade educacional relacionada aos Jogos Olímpicos e confeccionou uma maquete que representa uma piscina nas dimensões olímpicas. Admitiu que a piscina olímpica deve ter capacidade mínima de 2 500 000 litros e construiu sua maquete, referente a esse valor mínimo, na forma de paralelepípedo reto retângulo com dimensões internas 2 cm, 25 cm e 50 cm, cujo volume é 2 500 cm3. Considere que 1 L = 103 cm3. A maquete confeccionada pelo professor foi elaborada na escala:
a) 1 : 100.
b) 1 : 1 000.
c) 1 : 2 000.
d) 1 : 50 000.
e) 1 : 1 000 000
Resolução em vídeo
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Geometria Espacial (Volume do Paralelepípedo), Razão e Proporção (Escalas Lineares e Volumétricas) e Conversão de Unidades de Medida (Litros para Centímetros Cúbicos).
Tema/Objetivo Geral: Determinar a escala linear de uma maquete a partir da relação entre o seu volume e a capacidade real do objeto representado.
Nível da Questão: Médio.
- O desafio não está na fórmula do volume, mas na ponte cognitiva necessária para transformar uma escala volumétrica em uma escala linear, além de exigir uma conversão de unidades com muitos zeros, o que facilita erros de distração.
Gabarito: A.
- A alternativa está correta porque a razão entre o volume da maquete e o volume real da piscina é de 1 : 1.000.000. Como a escala da maquete é uma grandeza linear, devemos extrair a raiz cúbica dessa razão, resultando em 1 : 100.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: Traduzindo para o bom português: a missão é descobrir qual é a régua que o professor usou para encolher a piscina real até ela virar um brinquedo. O problema é que ele nos deu o “tamanho” em volume (litros), e a escala de maquete é sempre medida em uma linha reta (comprimento).
Simplificação Radical (A Analogia Central): Pense nisso como um feitiço de encolhimento. Se você encolhe um gigante 100 vezes, ele não fica apenas 100 vezes mais leve; ele encolhe 100 vezes na altura, 100 vezes na largura e 100 vezes na “barriga”. O volume total dele encolhe 100 x 100 x 100 vezes! O verdadeiro desafio aqui é fazer o caminho de volta: usar o encolhimento do volume para descobrir o encolhimento da altura.
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Padronizar a conversa: Transformar a capacidade real da piscina (litros) para a mesma unidade da maquete (centímetros cúbicos).
- Calcular a “razão de encolhimento” do volume: Dividir o volume da maquete pelo volume da piscina real.
- Voltar para a escala linear: Tirar a raiz cúbica desse resultado para achar a escala da maquete.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para essa investigação, precisamos de ferramentas que conectam diferentes dimensões. Vamos organizar nosso Dossiê Técnico:
Ficha Técnica: A Lei das Dimensões
Ferramenta 1 (Conversão): O enunciado diz que 1 L = 1.000 cm³ (ou 10³). Essa é a nossa pedra de Rosetta para converter capacidade em volume sólido.
Ferramenta 2 (Volume): Volume do paralelepípedo = Comprimento x Largura x Altura.
Ferramenta 3 (A Regra de Ouro das Escalas):
Escala Linear = k
Escala de Área = k²
Escala de Volume = k³
Portanto: Para achar a escala da maquete (k), precisamos da Raiz Cúbica da escala de volume.
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Bora lá colocar os números no interrogatório!
Investigação 01: O Volume da Piscina Real (O Gigante)
A piscina tem 2.500.000 litros.
Usando nossa ferramenta de conversão:
Volume Real = 2.500.000 x 1.000 cm³
Volume Real = 2.500.000.000 cm³ (Isso mesmo, 2,5 bilhões de centímetros cúbicos).
Investigação 02: O Volume da Maquete (A Cópia)
O enunciado já foi camarada e nos deu o valor, mas vamos conferir:
Volume Maquete = 2 cm x 25 cm x 50 cm = 2.500 cm³.
Investigação 03: A Razão Volumétrica (k³)
Agora vamos ver quantas vezes a maquete “cabe” na piscina real:
Razão = 2.500 / 2.500.000.000
Simplificando (corta dois zeros em cima e dois embaixo):
Razão = 25 / 25.000.000
Dividindo tudo por 25:
k³ = 1 / 1.000.000.
Investigação 04: A Escala Linear (k)
Para achar a escala da maquete, tiramos a raiz cúbica:
k = Raiz Cúbica de (1 / 1.000.000)
Sabemos que 100 x 100 x 100 = 1.000.000.
k = 1 / 100.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! A armadilha mais sedutora aqui é chegar no resultado 1 / 1.000.000 e marcar a letra E por pura ansiedade. Lembre-se: escala de maquete é uma relação de comprimento (1D). Como você está comparando volumes (3D), você encontrou o cubo da escala. Se não tirar a raiz cúbica, você cai direto na rede do examinador!
A Bússola (O Perfil do Culpado)
Síntese do raciocínio: Transformamos litros em cm³, comparamos os volumes e descobrimos que o volume real é 1 milhão de vezes maior. Na escala linear, isso significa um encolhimento de 100 vezes.
Expectativa: O culpado é o valor 1 : 100.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
a) 1 : 100.
Análise de Correspondência: Bingo! Este valor é a raiz cúbica exata da razão entre os volumes (1/1.000.000). Indica que cada 1 cm na maquete representa 100 cm (1 metro) na realidade.
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
b) 1 : 1 000.
A “Narrativa do Erro”: O aluno faz a conta do volume real, mas na hora de extrair a raiz de 1.000.000, ele se confunde com o número de zeros e acha que a raiz é 1.000.
O “Diagnóstico do Erro”: Generalização Excessiva. Confundiu o processo de radiciação com uma divisão simples por 1.000.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
c) 1 : 2 000.
A “Narrativa do Erro”: O aluno tenta relacionar o número “2” das dimensões da maquete com o resultado final sem aplicar a regra das escalas.
O “Diagnóstico do Erro”: Fuga ao Tema. Não há lógica matemática que leve a 2.000 a partir da raiz cúbica de 1.000.000.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
d) 1 : 50 000.
A “Narrativa do Erro”: O aluno se perde nos cálculos e tenta usar o valor de 50 cm ou os 2,5 milhões de litros de forma direta, sem converter as unidades ou usar a escala volumétrica.
O “Diagnóstico do Erro”: Reducionismo. Tenta resolver um problema tridimensional de escala com operações aleatórias.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
e) 1 : 1 000 000.
A “Narrativa do Erro”: O aluno encontra a razão entre os volumes e esquece que a escala pedida é a da maquete (linear).
O “Diagnóstico do Erro”: Descrever o Meio, não o Fim. Apresentou a escala volumétrica em vez da escala linear. Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A resposta final é a A, pois a escala linear de 1 : 100 elevada ao cubo gera a escala volumétrica de 1 : 1.000.000, que é exatamente a proporção entre a maquete e a piscina real.
Resumo-flash (A Imagem Mental): Volume é cubo; se o volume real é 1 milhão de vezes maior, a régua é apenas 100 vezes maior.
Para ir Além (A Ponte para o Futuro): Esse conceito é fundamental na Arquitetura e Engenharia. Se você faz uma maquete de um prédio na escala 1:10 e decide enchê-la de concreto para testar o peso, o peso da maquete não será 10 vezes menor que o prédio real, mas sim 1.000 vezes menor (10³). Ignorar isso é o que faz muitos modelos de teste falharem em desastres reais: a força da gravidade atua no volume (massa), não apenas na altura!
