Duas empresas do mercado de pequenos reparos domésticos determinam o valor de seus serviços a partir de um valor fixo acrescido de um valor cobrado por hora. A empresa X cobra R$ 60,00 de valor fixo mais R$ 18,00 por hora de serviço prestado. A empresa Y cobra R$ 24,00 de valor fixo e está definindo um novo valor a ser cobrado por hora. Sua estratégia de mercado prevê que, em relação à empresa X, o custo total do serviço deve ser menor ou igual para trabalhos de até duas horas de duração.
Qual é o valor máximo, em real, que a empresa Y poderá cobrar por hora de serviço prestado a fim de atender à sua estratégia de mercado?
a) 18
b) 36
c) 48
d) 54
e) 78
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Matemática (Funções do 1º Grau / Funções Afins e Inequações).
Tema/Objetivo Geral:
Modelagem matemática de custos e comparação de estratégias de precificação para determinar o limite de competitividade entre duas empresas.
Nível da Questão: Médio.
- A questão exige a tradução de um cenário comercial para expressões algébricas.
- O maior desafio é a interpretação do limite temporal (até duas horas). O candidato precisa perceber que o “ponto de virada” ou o limite máximo de preço ocorre exatamente na marca das 2 horas de serviço. Se a condição for atendida no limite máximo do prazo, ela será válida para todo o intervalo anterior.
Gabarito: Alternativa B.
- Para um serviço de 2 horas, a empresa X cobra 96 REAIS (60 fixos + 36 das horas). Para que a empresa Y não ultrapasse esse valor cobrando apenas 24 REAIS de taxa fixa, ela tem uma “folga” de 72 REAIS para distribuir em 2 horas, o que resulta em um valor máximo de 36 REAIS por hora.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: A missão é descobrir qual é o maior preço por hora que a Empresa Y pode colocar na sua tabela para que, em qualquer serviço rápido (de até 2 horas), ela nunca seja mais cara que a sua concorrente, a Empresa X.
Simplificação Radical (A Analogia Central): Imagine uma corrida de táxi. O carro X começa com o taxímetro marcando um valor alto, mas corre barato por quilômetro. O carro Y começa com o taxímetro baixo, mas quer saber o quanto pode cobrar por quilômetro para que, em viagens curtas, ele ainda seja a melhor opção para o cliente. O verdadeiro desafio aqui é: ache o preço “limite” no cronômetro de 2 horas.
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Montar a Equação da Empresa X: Calcular quanto ela cobra por um serviço de exatamente 2 horas.
- Modelar a Empresa Y: Criar uma fórmula para o custo de Y usando uma incógnita para o preço da hora.
- Estabelecer o Duelo (Inequação): Colocar o custo de Y “contra” o custo de X.
- Resolver o Enigma: Isolar o preço da hora e encontrar o valor máximo permitido.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para esta investigação inovadora, utilizaremos um Simulador de Estratégia Comercial para visualizar como os custos se comportam.
SIMULADOR DE PRECIFICAÇÃO: X vs Y
- ESTRUTURA DE CUSTO (Função Afim): Custo Total = Parcela Fixa + (Preço por Hora x Tempo).
- PAINEL DA EMPRESA X (O Alvo):
- Fixo: 60 REAIS.
- Variável: 18 REAIS por hora.
- Fórmula: Cx = 60 + 18t.
- PAINEL DA EMPRESA Y (O Desafiante):
- Fixo: 24 REAIS.
- Variável: P REAIS por hora (O que queremos descobrir).
- Fórmula: Cy = 24 + P.t.
- A REGRA DO MERCADO (Inequação): Para ser competitiva até 2 horas, o custo de Y deve ser menor ou igual (≤) ao de X quando o tempo (t) for igual a 2.
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos agora colocar as mãos na massa e processar os dados para o momento crítico: t = 2 horas.
1. Calculando o Teto da Concorrência (Empresa X):
Se chamarmos a Empresa X para trabalhar por 2 horas, pagaremos:
60 (fixo) + 18 x 2 (horas)
60 + 36 = 96 REAIS.
Este é o valor máximo que a Empresa Y pode atingir. Se ela cobrar 96,01 REAIS, ela perde a estratégia.
2. Montando a Barreira da Empresa Y:
A Empresa Y quer cobrar 24 REAIS fixos mais 2 horas de trabalho (2P). Esse total deve bater no máximo em 96 REAIS.
24 + 2P ≤ 96
3. Resolvendo a Batalha Algébrica:
Passamos o 24 para o outro lado subtraindo:
2P ≤ 96 – 24
2P ≤ 72
Agora, dividimos a folga de 72 REAIS pelas 2 horas trabalhadas:
P ≤ 72 / 2
P ≤ 36.
4. Conclusão da Perícia:
O preço por hora da empresa Y pode ser qualquer valor até 36. Como a questão pede o valor máximo, o teto é exatamente 36.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! A armadilha mais sedutora aqui é o aluno achar que, para ser menor ou igual à empresa X, a empresa Y deve cobrar o mesmo valor por hora que a X (18 REAIS). Se você fizer isso, marcará a Alternativa A. Lembre-se: a Empresa Y começa com uma taxa fixa muito menor (24 contra 60), então ela pode e deve cobrar mais caro por hora para compensar essa diferença e ainda assim ser vantajosa no final. O detetive atento olha para o custo total, não apenas para uma das parcelas!
Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: No limite de 2 horas, X cobra 96 REAIS. Y gasta 24 REAIS de largada, restando 72 REAIS para serem divididos em 2 horas de trabalho.
- Expectativa: O valor deve ser exatamente 36 REAIS.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) 18
- A Narrativa do Erro: O aluno foca apenas no valor por hora da empresa X e o replica, ignorando que as taxas fixas são diferentes e que Y pode cobrar mais por hora por ter um fixo menor.
- Diagnóstico do Erro: Reducionismo (Descreveu o meio, não o fim).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) 36
- Análise de Correspondência: Este valor é o limite exato onde o custo de Y iguala o de X as 2 horas. Qualquer valor abaixo de 36 mantém Y mais barata; 36 é, portanto, o valor máximo permitido.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
C) 48
- A Narrativa do Erro: Pode ocorrer se o aluno subtrair 24 de 72 em vez de dividir, ou se confundir o tempo total de serviço.
- Diagnóstico do Erro: Erro de Processamento de Dados.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D) 54
- A Narrativa do Erro: O aluno soma a taxa fixa de Y (24) com a de X (60) de forma aleatória ou erra a inequação básica.
- Diagnóstico do Erro: Erro de Cálculo Aritmético.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) 78
- A Narrativa do Erro: O aluno pode ter somado 60 + 18 e achado que esse valor total (78) seria o que poderia cobrar por hora, ignorando o fator tempo e a taxa fixa de Y.
- Diagnóstico do Erro: Confundir Causa com Consequência (Misturou taxas e valores totais).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A investigação termina com a vitória da Alternativa B. Aprendemos que, em uma guerra de preços, o que importa é a combinação final do “custo de entrada” com o “custo de permanência”.
Resumo-flash (A Imagem Mental): X cobra 96 no total; Y tira os seus 24 fixos, sobram 72; metade de 72 é 36.
Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Este exato modelo de precificação é o que as empresas de SaaS (Software como Serviço), como o Dropbox ou a Netflix, utilizam. Elas precisam decidir entre cobrar uma “taxa de instalação/adesão” alta com mensalidade baixa, ou adesão grátis com mensalidade maior. O ponto onde os dois planos se equivalem é chamado de Ponto de Equilíbrio (Break-even point). A matemática que você usou para os pequenos reparos domésticos é a mesma que os analistas financeiros do Vale do Silício usam para decidir o preço da sua assinatura de streaming!
