Uma empresa produziu uma bola de chocolate, em formato esférico, para utilizar na decoração de sua loja. Essa bola tem 20 cm de diâmetro externo, sendo oca por dentro, e a medida da espessura entre as superfícies interna e externa corresponde a 1 cm. Considere que, na confecção dessa bola, foi utilizado um tipo de chocolate em que 1 g equivale a 0,75 cm³. A quantidade de chocolate, em grama, utilizado na confecção dessa bola é:
a) 73π/3
b) 304π/9
c) 4336π/9
d) 4000π/3
e) 18256π/9
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Geometria Espacial, Volume de Esferas, Regra de Três.
📊 Nível da Questão: Média
📝Tema/Objetivo Geral: Aplicação de fórmulas de volume de esferas para determinar a quantidade de chocolate utilizado.
🎯 Gabarito: C
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 O problema apresenta uma bola de chocolate esférica e oca, com diâmetro externo de 20 cm e espessura de 1 cm. O objetivo é calcular a quantidade de chocolate utilizada na confecção da bola, sabendo que 1 g equivale a 0,75 cm³. O objetivo da questão é determinar o volume de chocolate utilizado, subtraindo o volume da esfera interna do volume da esfera externa, e depois converter esse volume em gramas.
📌 Palavras-chave: “esfera”, “oco”, “diâmetro”, “espessura”, “volume” e “densidade”.
Agora que o comando foi analisado e o objetivo definido, vamos abordar os conceitos e conteúdos necessários.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📌 Volume de uma Esfera: O volume de uma esfera de raio “r” é dado por:
V = (4.π.r³) / 3
📌 Esfera Oca: O volume ocupado pelo chocolate corresponde à diferença entre o volume da esfera externa e o volume da esfera interna.
📌 Conversão de Unidades: O problema informa que 1 g de chocolate equivale a 0,75 cm³. Assim, devemos usar uma regra de três para converter o volume obtido em gramas.
Com os conceitos bem estabelecidos, vamos agora interpretar o texto da questão.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
📌 Definição dos Raios:
- O diâmetro externo da bola é 20 cm, logo, o raio externo é 10 cm.
- A espessura da camada de chocolate é 1 cm, então o raio interno é 9 cm.
📌 Tradução do Problema para a Matemática:
- Precisamos calcular o volume da esfera maior e subtrair o volume da esfera menor.
- Depois, converter esse volume para gramas utilizando a relação dada.
Agora que interpretamos o texto, vamos desenvolver o raciocínio e realizar os cálculos necessários.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
📌 Cálculo do Volume de Chocolate:
🔹 Volume da esfera maior (raio 10 cm):
Vg = (4.π.10³) / 3 = (4.π.1000) / 3 = 4000.π / 3
🔹 Volume da esfera menor (raio 9 cm):
Vp = (4.π.9³) / 3 = (4.π.729) / 3 = 2916.π / 3
🔹 Volume de chocolate:
Vch = Vg – Vp = (4000.π / 3) – (2916.π / 3) = 1084.π / 3 cm³
📌 Conversão para Gramas:
🔹 Regra de Três:
- 0,75 cm³ → 1 g
- 1084.π / 3 cm³ → x g
🔹 Resolvendo:
0,75x = 1084.π / 3
Multiplicando por 4/3 em ambos os lados:
x = (1084.4.π) / 9
x = 4336.π / 9 g
Com os cálculos realizados, vamos agora analisar as alternativas apresentadas.
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
📌 Alternativas apresentadas:
a) 73π / 3 ❌ Valor muito baixo.
b) 304π / 9 ❌ Valor incorreto.
c) 4336π / 9 ✅ Alternativa correta.
d) 4000π / 3 ❌ Erro no cálculo do volume de chocolate.
e) 18256π / 9 ❌ Valor superestimado.
Finalmente, vamos concluir a resolução com um resumo e a justificativa final.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 Resumo do Raciocínio:
- Determinamos os raios da esfera maior (10 cm) e da menor (9 cm).
- Calculamos os volumes das esferas e subtraímos para obter o volume de chocolate.
- Convertendo esse volume para gramas, encontramos 4336π / 9 g.
📌 Alternativa Correta: ✅ Alternativa C: 4336π / 9
🔍 Resumo Final: A questão exigiu o conhecimento da fórmula do volume de uma esfera e a conversão de unidades utilizando regra de três. A alternativa correta foi determinada pela diferença de volumes entre a esfera maior e a esfera menor, seguida da conversão para gramas. Isso demonstra a importância de interpretar corretamente os dados fornecidos e aplicar corretamente as operações matemáticas.
