Uma empresa produziu uma bola de chocolate, em formato esférico, para utilizar na decoração de sua loja. Essa bola tem 20 cm de diâmetro externo, sendo oca por dentro, e a medida da espessura entre as superfícies interna e externa corresponde a 1 cm. Considere que, na confecção dessa bola, foi utilizado um tipo de chocolate em que 1 g equivale a 0,75 cm³. A quantidade de chocolate, em grama, utilizado na confecção dessa bola é:
a) 73π/3
b) 304π/9
c) 4336π/9
d) 4000π/3
e) 18256π/9
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Matemática (Geometria Espacial, Volume de Esferas e Razão e Proporção).
Tema/Objetivo Geral:
Cálculo do volume de uma casca esférica (diferença entre dois volumes) e conversão de grandeza volumétrica para massa.
Nível da Questão: Médio.
- A questão exige a visualização de um sólido oco, o que demanda a aplicação da fórmula de volume duas vezes.
- O maior desafio está na manipulação algébrica final, pois o candidato precisa lidar com o termo pi e realizar uma conversão baseada em uma razão decimal (0,75), o que exige precisão para não errar a posição dos numeradores e denominadores.
Gabarito: Alternativa C.
- O volume de chocolate é a diferença entre o volume externo (raio 10) e o interno (raio 9). Ao converter esse volume para gramas dividindo por 0,75 (ou multiplicando por 4/3), chegamos ao valor de 4336.pi / 9.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: A missão é descobrir a quantidade exata de “matéria-prima” (chocolate em gramas) necessária para fabricar uma bola que é grande por fora, mas vazia por dentro.
Simplificação Radical (A Analogia Central): Imagine que você quer pintar uma bola de isopor com uma camada muito grossa de chocolate e depois derreter o isopor de dentro. O que sobra é apenas a “casca”. O verdadeiro desafio aqui é: calcular o volume dessa casca e usar uma “regra de conversão” para saber o peso dela na balança.
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Extrair os Raios: Converter os diâmetros e a espessura em raios úteis.
- Calcular o Volume da Casca: Subtrair o “vazio” do “todo”.
- Aplicar a Conversão de Massa: Transformar os centímetros cúbicos em gramas usando a proporção do chocolate.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para esta análise, utilizaremos uma Tabela Técnica de Componentes para organizar os dados e as fórmulas que servirão de base para a nossa perícia.
TABELA DE COMPONENTES GEOMÉTRICOS E FÍSICOS
| Componente | Dado / Fórmula | Valor Aplicado |
| Raio Externo (R) | Diâmetro / 2 | 10 cm |
| Raio Interno (r) | R – Espessura | 9 cm (10 – 1) |
| Volume da Esfera (V) | (4/3) . pi . raio³ | V = (4/3) . pi . r³ |
| Volume de Chocolate | V_externo – V_interno | O volume da “casca” |
| Fator de Conversão | 1 g = 0,75 cm³ | 4/3 gramas por cm³ (Inverso de 3/4) |
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos agora executar os cálculos com o rigor de um mestre chocolateiro.
1. Calculando os volumes das esferas (em função de pi):
- Volume Total (Externo): (4/3) . pi . 10³ = (4/3) . pi . 1000 = 4000.pi / 3 cm³.
- Volume do Vazio (Interno): (4/3) . pi . 9³ = (4/3) . pi . 729.
- Simplificando: 4 . pi . 243 = 972.pi cm³.
- Para facilitar a conta seguinte (denominador 3): 2916.pi / 3 cm³.
2. Calculando o Volume de Chocolate Real:
- V_choc = (4000.pi / 3) – (2916.pi / 3) = 1084.pi / 3 cm³.
3. Convertendo Volume em Massa (Gramas):
Aqui precisamos de atenção total. A questão diz que 1 g equivale a 0,75 cm³.
Isso significa que para cada 0,75 de volume, temos 1 de massa.
Logo, dividimos o volume total por 0,75:
- Massa = (1084.pi / 3) / 0,75
- Sabendo que 0,75 é o mesmo que 3/4, dividir por 3/4 é o mesmo que multiplicar por 4/3.
- Massa = (1084.pi / 3) . (4 / 3)
- Massa = 4336.pi / 9 gramas.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! A armadilha mais sedutora aqui é confundir a operação final. Muitos alunos multiplicam o volume por 0,75 (achando que estão aplicando a proporção). Se você fizer isso, encontrará um valor menor do que o volume. Pense logicamente: se 1 grama ocupa um espaço menor que 1 cm (0,75), então o número de gramas deve ser MAIOR que o número do volume. O detetive atento sabe que, se a densidade é menor que 1, a massa numérica supera o volume!
Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: Subtraímos os volumes das esferas de raio 10 e raio 9. O resultado (1084.pi/3) foi multiplicado pelo inverso de 0,75 (que é 4/3).
- Expectativa: O resultado deve ser a fração 4336.pi / 9.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) 73.pi / 3
- A Narrativa do Erro: O aluno subtrai os raios antes de elevar ao cubo (10 – 9 = 1) e tenta aplicar a fórmula com o valor 1.
- Diagnóstico do Erro: Erro de Definição de Operação (Subtraiu as bases, ignorando que o volume é uma grandeza cúbica).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) 304.pi / 9
- A Narrativa do Erro: O aluno chega ao volume de chocolate mas erra a simplificação ou a multiplicação pelo fator 4/3, perdendo o controle das potências.
- Diagnóstico do Erro: Erro de Cálculo Aritmético.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C) 4336.pi / 9
- Análise de Correspondência: Este valor é a conclusão exata da nossa investigação. Ele integra os raios corretos, a subtração volumétrica precisa e a conversão de massa adequada (multiplicação por 4/3). Brutal!
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
D) 4000.pi / 3
- A Narrativa do Erro: O aluno calcula apenas o volume da esfera externa e esquece que a bola é oca, tratando-a como se fosse maciça de chocolate.
- Diagnóstico do Erro: Omissão de Restrição Técnica (Ignorou o fato de ser oca).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) 18256.pi / 9
- A Narrativa do Erro: O aluno pode ter somado os dois volumes ou utilizado o diâmetro (20) no lugar do raio na fórmula, gerando um resultado inflado em oito vezes.
- Diagnóstico do Erro: Confundir Variáveis (Diâmetro vs Raio).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A investigação termina com a vitória da Alternativa C. Aprendemos que o segredo dos sólidos ocos é entender que o “vazio” subtrai volume, mas não subtrai a nossa atenção aos detalhes.
Resumo-flash (A Imagem Mental): Bola grande menos bola pequena nos dá o volume; volume dividido por 0,75 nos dá o peso.
Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Este mesmo cálculo de Volume de Casca Esférica é vital na Engenharia de Satélites. Os tanques que armazenam combustível no espaço precisam ter uma espessura de metal calculada exatamente assim: o volume do metal (a casca) deve ser o menor possível para reduzir o peso do lançamento, mas o suficiente para aguentar a pressão. A matemática que Mariana usou para sua bola de chocolate é a mesma que permite que a tecnologia GPS funcione no seu celular agora mesmo!
