Uma quadra oficial de futebol de salão ocupa uma área que corresponde à área de um retângulo com comprimento de 40 m e largura de 20 m. Para segurança dos atletas, as linhas demarcatórias da quadra, nas laterais e nos fundos, deverão estar a uma distância de, no mínimo, 2 m de obstáculos que não fazem parte da quadra, tais como rede de proteção, tela, grade ou parede.
Disponível em: www.cbfs.com.br. Acesso em: 20 out. 2019 (adaptado).
A gerência do Departamento de Obras de uma Prefeitura avalia adquirir um terreno e nele construir uma quadra oficial de futebol de salão. Há cinco terrenos disponíveis, e a gerência comprará o terreno que tiver menor área, desde que comporte a construção da quadra garantindo todas as demandas que ofereçam segurança aos atletas. Planeja-se ainda que a quadra seja construída de modo que o seu lado maior seja paralelo à rua. A figura ilustra os terrenos disponíveis e que estão sendo avaliados.
Qual dos cinco terrenos a gerência deve adquirir a fim de atender a todas as exigências apresentadas?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Matemática (Geometria Plana, Cálculo de Áreas e Raciocínio Espacial/Proporcionalidade).
Tema/Objetivo Geral:
Cálculo de dimensões úteis de uma superfície a partir de margens de segurança e análise de viabilidade de encaixe em polígonos irregulares.
Nível da Questão: Médio.
- A questão exige que o candidato projete um “envelope de proteção” sobre as medidas da quadra, o que exige atenção à leitura.
- O maior desafio é a análise geométrica de terrenos não retangulares (Terrenos 1 e 4). O candidato precisa perceber que, em um trapézio, a largura diminui conforme nos afastamos da base maior, o que pode impedir o encaixe do retângulo de segurança mesmo que a área total pareça grande.
Gabarito: Alternativa E.
- O espaço mínimo real exigido para a obra é um retângulo de 44 m por 24 m. O Terreno 5 é o único que oferece essas dimensões constantes em toda a sua extensão, garantindo que a quadra e sua área de escape caibam perfeitamente sem violar as margens de 2 metros.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: A missão é atuar como um engenheiro de planejamento urbano. Precisamos escolher o terreno mais barato (menor área) que consiga “hospedar” uma quadra de 40×20 metros, somada a uma “fronteira invisível” de 2 metros de folga em cada um dos quatro lados.
Simplificação Radical (A Analogia Central): Pense em um telefone celular que precisa de uma capa protetora. O telefone tem um tamanho, mas a capa o torna maior em todas as direções. O verdadeiro desafio aqui é: você não pode escolher uma gaveta (terreno) baseada no tamanho do telefone, mas sim no tamanho da capa protetora. E essa gaveta não pode “apertar” ou “esmagar” os cantos da capa.
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Fabricar o Molde: Calcular o tamanho real do conjunto (Quadra + Margens de Segurança).
- Verificar a Orientação: Garantir que o lado maior desse molde fique paralelo à rua.
- Realizar o Teste de Encaixe: Testar esse molde em cada terreno, descartando aqueles que estreitam o espaço nos fundos.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para esta investigação inovadora, utilizaremos um Simulador de Viabilidade Técnica para garantir que o projeto não colida com as restrições geométricas.
SIMULADOR DE VIABILIDADE: PROJETO GABARITO ZERO
FERRAMENTA 1: O CÁLCULO DO ENVELOPE (E)
Para que os atletas não batam em obstáculos, a quadra deve estar “flutuando” no centro de um espaço maior.
- Comprimento do Envelope (Ce): 40 m (quadra) + 2 m (margem esquerda) + 2 m (margem direita) = 44 metros.
- Largura do Envelope (Le): 20 m (quadra) + 2 m (margem superior) + 2 m (margem inferior) = 24 metros.
- O Molde Obrigatório: Precisamos de um retângulo livre de 44 m x 24 m.
FERRAMENTA 2: O TESTE DO ESTREITAMENTO (TRAPÉZIOS)
Terrenos trapezoidais (como o 1 e o 4) são enganosos. Eles possuem uma frente larga, mas “fecham” nos fundos.
- Regra de Ouro: Se o fundo do terreno é menor que a largura do nosso molde (44 m), a quadra só caberá se for colocada muito próxima à rua, o que pode violar a margem de profundidade (24 m).
- A Pista Visual: Se os lados não são retos (90 graus), o espaço útil é sempre menor que a medida da frente.
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos agora levar o nosso molde de 44 m x 24 m para o canteiro de obras de cada alternativa.
1. Testando os Terrenos 2 e 3:
- Terreno 2: Possui 40 m x 20 m. Ele é do tamanho exato da quadra, deixando zero espaço para a segurança. Descartado.
- Terreno 3: Possui 42 m x 22 m. Embora maior que a quadra, ele é menor que o nosso molde de 44 m x 24 m. Descartado.
2. Perícia no Terreno 1 (O Trapézio de Base Curta):
- Este terreno tem 44 m de frente e 24 m de profundidade. Parece perfeito, certo?
- O Erro: Note que o fundo dele mede apenas 22 m. Conforme avançamos para o fundo para completar os 24 m de profundidade, as paredes laterais vão “esmagando” o espaço. O nosso retângulo de 44 m de largura não consegue descer até o fim sem sair do terreno. Descartado.
3. Perícia no Terreno 4 (O Trapézio Gigante Inviável):
- Tem uma frente enorme de 60 m e profundidade de 48 m.
- O Erro: O fundo é de apenas 20 m. Se tentarmos centralizar nossa quadra, a uma profundidade de 24 metros (metade do terreno), a largura disponível será a média entre a frente (60) e o fundo (20), que resulta em 40 metros.
- Como nosso molde precisa de 44 metros de largura, ele ficaria com as pontas “para fora” do terreno. Descartado.
4. Inspeção Final no Terreno 5:
- Este é um retângulo perfeito de 50 m (frente) por 40 m (profundidade).
- O Encaixe: Como 50 é maior que 44 e 40 é maior que 24, o projeto cabe com folga e segurança.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! A armadilha mais sedutora aqui é o aluno somar a margem de segurança apenas uma vez (fazendo 40+2 e 20+2). Se você fizer isso, encontrará as medidas 42 m x 22 m e marcará o Terreno 3 como a “menor área”. O detetive atento sabe que o texto diz “nas laterais (plural) e nos fundos (plural)”. Se você tem duas laterais, precisa de 2 metros em cada uma! Não economize na segurança ou perderá a questão.
Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: O molde necessário é de 44×24. Terrenos 1, 2, 3 e 4 falham ou por medida bruta ou por afunilamento geométrico.
- Expectativa: O único terreno viável e seguro é o Terreno 5.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) 1
- A Narrativa do Erro: O aluno olha apenas para os números da frente e da profundidade (44 e 24) e ignora a medida do fundo (22), esquecendo que o terreno estreita e “corta” os cantos da quadra.
- Diagnóstico do Erro: Reducionismo (Ignorou a geometria não-retangular).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) 2
- A Narrativa do Erro: O aluno foca apenas na área de jogo oficial e despreza completamente a instrução de segurança dos atletas.
- Diagnóstico do Erro: Omissão de Restrição Técnica.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C) 3
- A Narrativa do Erro: O aluno comete o erro da margem única (soma apenas 2 metros no total), resultando em 42×22.
- Diagnóstico do Erro: Erro de Interpretação de Margem Dupla.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D) 4
- A Narrativa do Erro: O aluno se deixa levar pela grandeza visual do terreno (área total alta), mas não percebe que o formato triangular/trapezoidal agudo mata a área útil necessária para um retângulo longo de 44m.
- Diagnóstico do Erro: Confundir Área Total com Área Útil.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) 5
- Análise de Correspondência: Este terreno é o único que suporta o gabarito de 44 m x 24 m sem que nenhuma parte da construção ou da margem de segurança extrapole os limites da propriedade. É a solução exata e segura.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A investigação termina com a vitória da Alternativa E. Aprendemos que o formato de um terreno é tão importante quanto o seu tamanho total.
Resumo-flash (A Imagem Mental): Quadra + 2 metros de cada lado = molde de 44×24. Se o terreno “afunila” ou é pequeno, o molde não entra!
Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Este conceito de Área de Escape é fundamental na Engenharia de Pistas de Fórmula 1. Não basta ter a largura da pista para os carros passarem; é necessário um cálculo rigoroso de “áreas de brita” e “barreiras de pneus” (o nosso recuo de 2 metros) baseado na velocidade do carro. Se a pista faz uma curva e o terreno em volta é muito estreito (como nos trapézios da questão), a pista é considerada perigosa e não recebe a licença da FIA. A matemática da quadra da prefeitura é a mesma que salva vidas em Interlagos ou Mônaco!
