A trajetória de um avião durante um voo entre duas cidades ocorre dentro de áreas de controle de tráfego. Durante um voo, é exigido que o avião sobrevoe pontos de controle situados no solo e demarcados entre a origem (O) e o destino (D) da aeronave. Assim, embora a trajetória do avião ocorra num espaço tridimensional, para o controlador de voo, a visualização representativa dessa trajetória é dada por uma linha poligonal plana, em que três pontos de controle sucessivos, nas representações, devem ser não colineares. Disponível em: www.kaspersky.com.br. Acesso em: 21 out. 2019 (adaptado).
As figuras apresentam algumas possibilidades dessas representações, nas quais todos os pontos de controle estão representados.
Suponha que um avião fez um voo com origem diferente do destino final e cuja representação apresente três pontos de controle.
Nesse voo, qual das figuras apresentadas é compatível com as restrições estabelecidas?
a) I
b) II
c) III
d) IV
e) V
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Matemática (Geometria Plana, Conceitos de Colinearidade e Linhas Poligonais).
Tema/Objetivo Geral:
Identificação de trajetórias geométricas em um plano que atendam a restrições específicas de contagem de vértices (pontos de controle) e mudança de direção (não colinearidade).
Nível da Questão: Médio.
- A questão exige uma transposição precisa entre o texto técnico e a imagem. O candidato precisa diferenciar os pontos de extremidade (Origem e Destino) dos pontos de controle (intermediários).
- O maior desafio é o critério de exclusão: não basta encontrar a forma certa, é preciso garantir que ela não viole nenhuma das três restrições simultâneas do comando.
Gabarito: Alternativa A.
- A Figura I é a única representação que contém exatamente três pontos de controle entre a origem e o destino, assegurando que nenhum trio de pontos sucessivos esteja alinhado (não colineares) e que o ponto de chegada seja geograficamente distinto do ponto de partida.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: A missão é encontrar o “mapa de voo” que respeita as três leis da torre de comando: ter exatamente três checkpoints no caminho, garantir que o avião faça uma curva obrigatória em cada um deles (proibido voar em linha reta por três pontos seguidos) e confirmar que o destino não é o mesmo lugar da decolagem.
Simplificação Radical (A Analogia Central): Imagine que você está jogando “ligue os pontos”. Você tem o ponto inicial (O) e o final (D). No trajeto, você deve obrigatoriamente “carimbar” seu passaporte em 3 guichês (pontos de controle). O verdadeiro desafio aqui é: você não pode colocar esses 3 guichês em uma linha reta perfeita; o caminho precisa “dobrar” em cada um deles.
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Isolar os Checkpoints: Identificar nas figuras apenas os pontos que estão entre o início (O) e o fim (D).
- Filtro de Quantidade: Eliminar desenhos que tenham mais ou menos do que 3 pontos.
- Filtro de Alinhamento: Descartar trajetórias onde três pontos formem uma reta única.
- Filtro de Deslocamento: Garantir que o avião não voltou para a mesma cidade (O diferente de D).
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para esta investigação, utilizaremos uma Ficha Técnica de Critérios de Voo para organizar nossas pistas visuais.
FICHA TÉCNICA: PROTOCOLO DE TRAJETÓRIA
- Ponto de Controle: Na geometria, são os vértices intermediários de uma linha poligonal. Se a linha vai de O para D, os pontos de controle são as “dobras” ou marcações existentes no meio do percurso.
- Não Colineares: Três pontos são não colineares quando não pertencem à mesma reta. Na prática do desenho, isso significa que a linha deve formar um ângulo (um “cotovelo”) naquele ponto, e não continuar reta.
- Origem (O) vs Destino (D): São as extremidades da linha. A restrição “origem diferente do destino final” significa que a linha deve ser aberta, e não um circuito fechado (polígono).
- Linha Poligonal Plana: É o rastro do avião visto de cima pelo controlador. Ela é composta por segmentos de reta conectados pelos pontos de controle.
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos agora aplicar esses filtros em cada figura como se estivéssemos usando um scanner de precisão.
1. Perícia na Figura I:
- Saímos de O.
- Contamos as dobras no caminho: 1ª dobra, 2ª dobra, 3ª dobra.
- Chegamos em D.
- Análise: Possui exatamente 3 pontos de controle. A linha muda de direção em todos, logo são não colineares. O e D estão em locais diferentes.
- Veredito: Atende a todos os requisitos.
2. Perícia na Figura II:
- Ao rastrear o caminho de O até D, contamos os vértices intermediários.
- Encontramos 4 pontos de controle.
- Veredito: Descartada por excesso de pontos (o comando exige apenas 3).
3. Perícia na Figura III:
- Vemos uma linha reta única ligando O a D.
- Embora existam pontos demarcados, eles estão todos sobre a mesma linha.
- Veredito: Descartada por violação da regra de não colinearidade (os pontos são colineares).
4. Perícia na Figura IV:
- Vemos uma forma geométrica fechada.
- Observe que as letras O e D estão no mesmo vértice (topo da figura).
- Veredito: Descartada porque a origem deve ser diferente do destino.
5. Perícia na Figura V:
- Ao seguir a linha de O até D, vemos apenas uma mudança de direção no topo.
- Isso representa apenas 1 ponto de controle.
- Veredito: Descartada por insuficiência de pontos (faltam dois).
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! A armadilha mais sedutora aqui é incluir a Origem (O) e o Destino (D) na contagem dos “pontos de controle”. Se você fizer isso, achará que a Figura I tem 5 pontos e que a Figura V tem 3. Lembre-se: pontos de controle são os marcos de passagem entre a partida e a chegada. O detetive atento nunca confunde o endereço de casa com os postos de gasolina no meio da estrada!
Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: O alvo deve ser uma linha aberta (O ≠ D) com três vértices intermediários onde ocorram mudanças de direção.
- Expectativa: O culpado é a Figura I.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) I
- Análise de Correspondência: Esta figura é o “retrato falado” perfeito da nossa investigação. Ela possui os 3 pontos de controle, respeita a não colinearidade em cada sequência de três pontos e une uma origem a um destino distinto. Brutal e exato.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
B) II
- A Narrativa do Erro: O aluno foca apenas no fato de a linha ser “quebrada” e ignora a contagem rigorosa, aceitando uma trajetória com 4 checkpoints.
- Diagnóstico do Erro: Generalização Excessiva (Excesso de elementos).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C) III
- A Narrativa do Erro: O aluno ignora a exigência técnica de “não colinearidade”, acreditando que qualquer ponto demarcado no solo serve como controle, mesmo em voo retilíneo.
- Diagnóstico do Erro: Contradição Direta (Os pontos são colineares).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D) IV
- A Narrativa do Erro: O aluno se impressiona com a complexidade do desenho poligonal, mas falha em notar que as letras O e D estão sobrepostas, indicando um voo que termina onde começou.
- Diagnóstico do Erro: Fuga ao Tema (Viola a restrição O ≠ D).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) V
- A Narrativa do Erro: O aluno identifica a não colinearidade, mas erra a contagem para menos, aceitando uma figura com apenas um ou dois pontos de controle (dependendo da interpretação visual).
- Diagnóstico do Erro: Reducionismo (Faltam pontos de controle).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A investigação foi concluída com sucesso na Alternativa A. Provamos que, na geometria e na aviação, as restrições são o que definem a rota segura.
Resumo-flash (A Imagem Mental): Três dobras no caminho, sem nunca seguir reto e sem voltar para a casa de partida.
Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Este conceito de Não Colinearidade e pontos de controle é o que sustenta a Computação Gráfica Moderna. Quando você vê um personagem de videogame se movendo ou uma linha suave em um desenho animado, o computador está usando algo chamado Curvas de Bézier. Essas curvas são calculadas a partir de pontos de controle (como os da nossa questão). Se os pontos forem colineares, você tem apenas uma reta; se forem desalinhados, você cria curvas complexas, superfícies 3D e vida digital. A matemática do tráfego aéreo é a mesma que desenha os seus filmes favoritos da Pixar!
