Uma empresa produz embalagens para acomodar seu produto. As embalagens atuais são cilíndricas e medem 16 cm de diâmetro e 20 cm de altura. A pedido da direção, as embalagens terão um novo formato. Elas serão na forma de paralelepípedos retos retângulos, de base quadrada, de lado medindo 16 cm. A capacidade delas deverá ser, pelo menos, 400 mL maior que a das embalagens atuais.
Use 3 como valor aproximado de π.
O valor aproximado da medida da altura das novas embalagens, em centímetro, é
A) 11.
B) 15.
C) 17.
D) 62.
E) 66.
✍ Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Geometria Espacial (Cálculo de Volume de Cilindros e Prismas).
Tema/Objetivo Geral: Comparar volumes de sólidos geométricos diferentes para determinar a dimensão (altura) necessária de uma nova embalagem que comporte um volume maior que a anterior.
Nível da Questão: Médio.
Por que Médio? A questão envolve várias etapas de cálculo: volume do cilindro, adição de capacidade extra e cálculo da altura do prisma. Além disso, há a clássica pegadinha do diâmetro versus raio.
Gabarito: C (17).
A alternativa está correta pois o volume necessário é de 4.240 cm³ e a área da base da nova caixa é 256 cm². A divisão resulta em aproximadamente 16,56 cm, cujo valor inteiro mais próximo é 17.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
A questão quer que você projete uma nova caixa quadrada para substituir uma lata redonda.
Regras do jogo:
- Calcular quanto cabe na lata atual.
- Aumentar 400 mL nessa quantia.
- Descobrir qual altura a nova caixa quadrada precisa ter para caber tudo isso.
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine que você tem um copo redondo cheio de água.
Você quer despejar essa água (mais um chorinho de 400 mL) em uma vasilha quadrada.
A base da vasilha é fixa (16×16). Até que altura a água vai subir?
Plano de Ataque:
- Volume Antigo: Calcular o volume do cilindro (Cuidado: o texto deu diâmetro, a fórmula usa raio!).
- Volume Novo: Somar 400 ao resultado.
- Altura Nova: Dividir o Volume Novo pela área da base da caixa quadrada.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Vamos usar as fórmulas de volume:
Ferramenta 1: Volume do Cilindro
V = pi . r^2 . h
- pi = 3 (dado no texto).
- h = 20.
- Atenção: O diâmetro é 16, logo o Raio (r) é 8.
Ferramenta 2: Volume do Paralelepípedo (Caixa)
V = Área da Base . Altura
- Base quadrada de lado 16. Área = 16 . 16.
Ferramenta 3: Conversão
1 mL = 1 cm³. (Podemos misturar mL e cm³ sem fazer contas extras).
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos aos cálculos:
Etapa 1: O Volume da Lata Atual
- Raio = 16 / 2 = 8 cm.
- Altura = 20 cm.
- V_cilindro = 3 . (8^2) . 20
- V_cilindro = 3 . 64 . 20
- V_cilindro = 192 . 20
- V_cilindro = 3.840 cm³ (ou mL).
Etapa 2: A Meta da Nova Caixa
O texto pede que a capacidade seja 400 mL maior.
- V_novo = 3.840 + 400
- V_novo = 4.240 cm³.
Etapa 3: A Altura da Nova Caixa
A base é um quadrado de 16 cm.
- Área da Base = 16 . 16 = 256 cm².
Agora, usamos a fórmula do volume ao contrário para achar a altura (H):
Volume = Base . H
4.240 = 256 . H
H = 4.240 / 256
Hora da Divisão:
- 4240 dividido por 256.
- Dica de estimativa: 256 x 10 = 2.560. Falta muito.
- 256 x 20 = 5.120. Passou.
- A resposta deve estar entre 10 e 20, mais perto de 20.
- Cálculo exato: 4240 / 256 = 16,5625 cm.
Arredondamento:
O valor aproximado mais próximo de 16,56 é 17.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
Usar o Diâmetro como Raio.
Se o aluno fizer V = 3 . (16^2) . 20, vai achar um volume 4 vezes maior (15.360), errando tudo.
Outro erro comum: Esquecer de somar os 400 mL. Se dividir 3.840 por 256, dá exatos 15 cm (Alternativa B). Essa é a casca de banana para quem não lê o enunciado até o fim!
A Bússola (Síntese):
Volume necessário = 4.240. Base = 256. Altura = 16,56 (aprox. 17).
Expectativa: Alternativa C.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
- A) 11.
- Diagnóstico do Erro: Cálculo aleatório ou erro grosseiro de divisão.
- Conclusão: 🔴 Incorreta.
- B) 15.
- Diagnóstico do Erro: O Distrator do “Esquecido”. O aluno calculou tudo certo, mas esqueceu de somar os 400 mL extras.
- Conta: 3.840 / 256 = 15.
- Conclusão: 🔴 Incorreta.
- C) 17.
- Análise: Perfeita. O volume total requerido (4.240 cm³) dividido pela área da base da nova embalagem (256 cm²) resulta em 16,56 cm. O número inteiro mais próximo é 17.
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
- D) 62.
- Diagnóstico do Erro: O aluno pode ter usado o diâmetro (16) no lugar do raio na fórmula do cilindro (o volume ficaria 4x maior).
- Conclusão: 🔴 Incorreta.
- E) 66.
- Diagnóstico do Erro: Mesmo erro da D, somado a algum outro desvio de arredondamento ou soma.
- Conclusão: 🔴 Incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento:
Para redimensionar uma embalagem alterando sua geometria de cilíndrica para prismática, igualamos o volume desejado (volume original + acréscimo) ao produto da nova área da base pela nova altura, resultando em aproximadamente 17 cm.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“Tire o suco da lata redonda, adicione um copo extra (400ml) e jogue na caixa quadrada. A altura da água mostra a resposta.”
🧠 Para ir Além (Engenharia de Embalagens):
Por que as empresas trocam cilindros por caixas retangulares?
Logística! Cilindros deixam espaços vazios entre eles quando empilhados (você transporta “ar”). Caixas retangulares se encaixam perfeitamente, ocupando 100% do espaço do caminhão. A mudança descrita na questão economizaria frete!
