Questão 167 caderno azul do ENEM 2024 PPL – Dia 2

Visando obter créditos de carbono, uma empresa, emissora de gases de efeito estufa, elabora um projeto de reflorestamento em uma área desmatada. De acordo com o projeto, no primeiro ano serão reflorestados 500 hectares. A partir daí, a cada ano, a área total reflorestada será aumentada em 50% em relação ao ano anterior.

A expressão algébrica que representa a área total reflorestada (A_n), em hectare, ao final de n anos é

A) A_n = 500 ⋅ 0,5ⁿ⁻¹

B) A_n = 500 ⋅ 1,5ⁿ⁻¹

C) A_n = 500 + n ⋅ 250

D) A_n = 500 ⋅ (1 + 0,5ⁿ⁻¹)

E) A_n = 500 + (n − 1) ⋅ 250

✍ Resolução Em Texto

Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Matemática Financeira (Juros Compostos), Funções Exponenciais e Progressão Geométrica (PG).

Tema/Objetivo Geral: Modelar matematicamente o crescimento de uma área que aumenta percentualmente a cada ano (crescimento exponencial), utilizando a fórmula do termo geral de uma PG.

Nível da Questão: Difícil.
Por que Difícil? O conceito é simples, mas a formalização matemática confunde muitos alunos. É preciso saber que um aumento de 50% significa multiplicar por 1,5 (não por 0,5) e que a contagem do tempo começa no ano 1, o que gera o expoente (n – 1).

Gabarito: B (An = 500 . 1,5^(n-1)).
A alternativa está correta pois representa uma Progressão Geométrica onde o primeiro termo é 500 e a razão é 1,5 (100% + 50% de aumento).

1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)

Decodificação do Objetivo:
A questão quer a fórmula mágica para calcular o tamanho da floresta em qualquer ano “n”.
Temos dois dados cruciais:

Ponto de Partida: Começamos com 500 hectares.
Regra de Crescimento: A cada ano, a área aumenta 50%.

Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine uma conta poupança que rende 50% ao ano.

Ano 1: Você deposita R$ 500,00.
Ano 2: O banco te dá mais 50% do que tinha antes.
A pergunta é: Qual a fórmula do saldo dessa conta no futuro?

Plano de Ataque:

Traduzir “Aumento de 50%”: Em matemática, aumentar 50% é o mesmo que multiplicar por 1,5. (O original “1” + a metade “0,5”).
Testar os Anos: Calcular na mão o Ano 1, Ano 2 e Ano 3 para ver o padrão.
Generalizar: Transformar o padrão em uma fórmula com “n”.

2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)

Vamos usar a ferramenta da Progressão Geométrica (PG).

Fórmula do Termo Geral da PG:
An = A1 . q^(n-1)

An: Valor no ano n.
A1: Valor no primeiro ano.
q: Razão (fator de multiplicação).
n: Posição na sequência (ano).

Por que (n – 1)?
Porque no primeiro ano (n=1) não houve aumento ainda. O aumento só acontece do 1 para o 2.
Se a fórmula tivesse expoente “n”, no ano 1 teríamos 500 vezes 1,5 elevado a 1 = 750, o que estaria errado (o ano 1 é 500).
Com (n – 1), no ano 1 temos 500 vezes 1,5 elevado a 0 = 500. Correto!

3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)

Vamos simular o crescimento da floresta:

Ano 1 (n=1):
Área = 500 hectares.
(Não multiplicou por nada ainda, ou seja, 1,5 elevado a 0).

Ano 2 (n=2):
Área anterior + 50% de aumento.
500 + (metade de 500) = 500 vezes 1,5.
Resultado: 750 hectares.
(Multiplicou por 1,5 uma vez).

Ano 3 (n=3):
Área do ano 2 vezes 1,5.
(500 vezes 1,5) vezes 1,5 = 500 vezes 1,5 elevado a 2.
(Multiplicou por 1,5 duas vezes).

Ano “n”:
Observe o padrão:

Ano 1: expoente 0.
Ano 2: expoente 1.
Ano 3: expoente 2.
Ano n: expoente (n – 1).

Fórmula Final:
An = 500 . 1,5^(n-1)

🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
Muitos alunos marcam a alternativa A.
Eles pensam: “Aumento de 50% é igual a 0,5”.
Erro Fatal! Multiplicar por 0,5 significa reduzir pela metade (ficar com apenas 50% do que tinha).
Para aumentar, você tem que multiplicar por (1 + taxa).
Aumento de 50% -> Multiplicar por 1,5.

A Bússola (Síntese):
Valor inicial 500. Fator de crescimento 1,5. Ajuste do tempo (n – 1).

Expectativa: Alternativa B.

4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)

A) An = 500 . 0,5^(n-1)
- Diagnóstico do Erro: O aluno confundiu “aumentar 50%” com “ficar com 50%”. Essa fórmula faria a floresta encolher pela metade a cada ano (500 -> 250 -> 125).
- Conclusão: 🔴 Incorreta.

B) An = 500 . 1,5^(n-1)
- Análise: Perfeita. O termo inicial é 500. A razão é 1,5 (crescimento de 50%). O expoente (n – 1) ajusta corretamente o início da sequência para o ano 1.
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.

C) An = 500 + n . 250
- Diagnóstico do Erro: O aluno usou Progressão Aritmética (PA). Achou que o aumento seria sempre fixo de 250 hectares (50% de 500), ignorando que o aumento é sobre o ano anterior (juros compostos), não sobre o original.
- Conclusão: 🔴 Incorreta.

D) An = 500 . (1 + 0,5^(n-1))
- Diagnóstico do Erro: Erro de sintaxe matemática. O aluno tentou somar o “1” dentro da fórmula de forma errada. Isso resultaria em 500 + um valor decrescente.
- Conclusão: 🔴 Incorreta.

E) An = 500 + (n – 1) . 250
- Diagnóstico do Erro: Outra versão de Progressão Aritmética. Aqui o aluno acertou o ajuste (n – 1), mas errou o tipo de crescimento (linear em vez de exponencial).
- Conclusão: 🔴 Incorreta.

5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)

Frase de Fechamento:
O crescimento percentual constante configura uma Progressão Geométrica; um aumento de 50% implica uma razão q = 1,5, e como a série inicia no ano 1 com valor fixo, o expoente deve ser corrigido para (n – 1).

Resumo-flash (A Imagem Mental):
“Juros compostos na floresta: O fator é 1,5 (1 inteiro + meia parte). A fórmula é PG.”

🧠 Para ir Além (Biologia e Economia):
Esse tipo de crescimento é chamado de Exponencial ou Malthusiano. É assim que bactérias, populações e dívidas de cartão de crédito crescem. No começo parece pouco (500 -> 750), mas no ano 10 a área já seria gigante (quase 20.000 hectares!). É o poder dos juros compostos.