Sob a orientação de um mestre de obras, João e Pedro trabalharam na reforma de um edifício. João efetuou reparos na parte hidráulica nos andares 1, 3, 5, 7, e assim sucessivamente, de dois em dois andares. Pedro trabalhou na parte elétrica nos andares 1, 4, 7, 10, e assim sucessivamente, de três em três andares. Coincidentemente, terminaram seus trabalhos no último andar. Na conclusão da reforma, o mestre de obras informou, em seu relatório, o número de andares do edifício. Sabe-se que, ao longo da execução da obra, em exatamente 20 andares, foram realizados reparos nas partes hidráulica e elétrica por João e Pedro.
Qual é o número de andares desse edifício?
A) 40
B) 60
C) 100
D) 115
E) 120
Resolução em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução
- Mínimo Múltiplo Comum (MMC) → Para entender em quais andares João e Pedro trabalham juntos.
- Progressão Aritmética (P.A.) → Para calcular a quantidade total de andares do prédio.
🔢 Nível da Questão
🔹Médio – Envolve conhecimento de P.A., MMC e identificação de padrões numéricos.
✅ Gabarito
Alternativa D) 115
📝 Resolução Passo a Passo
🔍 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
O problema envolve dois trabalhadores, João e Pedro, que realizam reparos em andares diferentes, mas seguindo uma sequência numérica:
- João faz reparos de 2 em 2 andares → 1,3,5,7,…
- Pedro faz reparos de 3 em 3 andares → 1,4,7,10,…
Ou seja, ambos realizam reparos em alguns andares em comum.
📌 Nosso objetivo é descobrir quantos andares tem o prédio, sabendo que João e Pedro trabalharam juntos em exatamente 20 andares e que o último desses andares coincide com o último andar do prédio.
📖 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
📌 O que é o MMC e como ele se aplica aqui?
O Mínimo Múltiplo Comum (MMC) nos diz de quantos em quantos andares João e Pedro trabalham juntos.
💡 Explicação Simples:
Imagine que João sobe 2 degraus por vez e Pedro sobe 3 degraus por vez.
Se eles começam no mesmo degrau, quando eles vão se encontrar de novo?
Vamos testar:
- João: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, …
- Pedro: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, …
🔎 Eles se encontram nos degraus 1, 7, 13, 19, …
Perceba que isso acontece a cada 6 degraus!
Isso acontece porque o menor número que é múltiplo de 2 e 3 ao mesmo tempo é o 6.
📌 O que isso significa na nossa questão?
Os andares onde ambos fazem reparos são os múltiplos de 6 mais 1:
1,7,13,19,25,31
📌 O que é Progressão Aritmética (P.A.)?
Uma Progressão Aritmética (P.A.) é uma sequência numérica em que cada termo é obtido somando um valor fixo ao termo anterior.
💡 Exemplo Simples:
- Se tivermos a sequência 1, 3, 5, 7, 9, …, estamos sempre somando 2 ao número anterior.
- Essa soma fixa é chamada de razão da P.A.
📌 Fórmula geral da P.A.
Se temos uma P.A. do tipo:
- a1,a2,a3,…,an
O termo geral da P.A. é dado por:
- an=a1+(n−1)×r
Onde:
- an= termo que queremos encontrar.
- a1 = primeiro termo da sequência.
- r = razão (o valor fixo que somamos a cada passo).
- n = número de termos da sequência.
Agora que entendemos a lógica, vamos aplicá-la ao problema.
✅ Passo 3: Desenvolvimento de Raciocínio
1° Método –> Aplicando Fórmula da P.A
Sabemos que João e Pedro trabalharam juntos em 20 andares.
Como vimos, os andares que eles compartilham formam uma Progressão Aritmética (P.A.) com:
- Primeiro termo: a1=1
- Razão: r=6(porque eles se encontram a cada 6 andares)
- Vigésimo termo: a20 (o último andar do prédio)
A fórmula da P.A. é:
- an=a1+(n−1)×r
Substituindo os valores:
- a20=1+(20−1)×6
- a20=1+19×6
- a20=115
✅ O prédio tem 115 andares. Resposta: Alternativa D.
2° Método –> Aplicando Lógica do MMC
Agora, vamos resolver a questão de uma maneira mais visual, como alguém que não quer usar fórmulas e prefere encontrar padrões.
Sabemos que:
- João sobe de 2 em 2 andares.
- Pedro sobe de 3 em 3 andares.
Eles vão se encontrar em múltiplos de 6, sempre começando do andar 1.
Então, testamos:
- 1,7,13,19,25,31,…
Se observarmos, todos os andares onde João e Pedro se encontram são números ímpares.
Isso acontece porque estamos sempre somando 6 ao número 1, o que sempre dá um número ímpar.
Agora, sabemos que isso acontece exatamente 20 vezes.
📌 Basta encontrar o 20º termo dessa sequência:
1+(20−1)×6=1+19×6=115
ou, perceber que existe apenas uma alternativa que possui um número ímpar! – Não foi coincidência!
✅ Número total de andares: 115.
✨ Passo 4: Análise das Alternativas
Agora, vamos verificar todas as alternativas e entender por que estão erradas ou como poderiam ser corrigidas.
(A) 40 ❌ ERRADA
(B) 60 ❌ ERRADA
(C) 100 ❌ ERRADA
(D) 115 ✅ CORRETA
(E) 120 ❌ ERRADA
🎯Passo 5: Conclusão e Justificativa Final
📌 Resumo do raciocínio:
- Identificamos o padrão de andares onde João e Pedro trabalharam juntos.
- Aplicamos a fórmula da Progressão Aritmética para calcular o último andar.
- Verificamos as alternativas e corrigimos cada uma, mostrando como ficariam certas.
✅ Resposta final: Alternativa D (115 andares). 🚀🎯
