Em uma cidade será construída uma galeria subterrânea que receberá uma rede de canos para o transporte de água de uma fonte (F) até o reservatório de um novo bairro (B).
Após avaliações, foram apresentados dois projetos para o trajeto de construção da galeria: um segmento de reta que atravessaria outros bairros ou uma semicircunferência que contornaria esses bairros, conforme ilustrado no sistema de coordenadas x e y da figura, em que a unidade de medida nos eixos é o quilômetro.
Estudos de viabilidade técnica mostraram que, pelas características do solo, a construção de 1 m de galeria via segmento de reta demora 1,0 h, enquanto que 1 m de construção de galeria via semicircunferência demora 0,6 h. Há urgência em disponibilizar água para esse bairro.
Use 3 como aproximação para π e 1,4 como aproximação para √2.
O menor tempo possível, em hora, para conclusão da construção da galeria, para atender às necessidades de água do bairro, é de
A) 1 260.
B) 2 520.
C) 2 800.
D) 3 600.
E) 4 000.
Resolução em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução
- Geometria Analítica (cálculo de distância entre pontos, diagonais)
- Geometria Plana (comprimento de uma semicircunferência)
- Regra de Três (tempo de construção)
🔢 Nível da Questão
🔹Médio
✅ Gabarito
Alternativa B) 2.520 horas
📝 Resolução Passo a Passo
🔍 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
A questão fala sobre a construção de uma galeria subterrânea que transportará água de um ponto F (-1,1) até o ponto B (1,-1).
Duas opções são apresentadas:
- Reta direta entre F e B.
- Semicircunferência passando pelo quadrante superior.
Nos pedem o menor tempo possível para construir a galeria, dadas as condições:
- Cada metro de galeria em linha reta demora 1,0 h para ser construído.
- Cada metro de galeria na semicircunferência demora 0,6 h para ser construído.
O objetivo é calcular as distâncias para cada opção e determinar o menor tempo.
📖 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
1️⃣ Distância entre dois pontos
A distância entre dois pontos (x1,y1) e (x2,y2) é dada pela fórmula:
Essa fórmula vem do Teorema de Pitágoras e serve para calcular a reta direta entre F e B.
2️⃣ Comprimento de uma semicircunferência
A fórmula do comprimento de um círculo é:
- C=2πr
Como a semicircunferência é metade de um círculo, usamos:
- 2πr/2=πr
3️⃣ Tempo de Construção
O tempo total é obtido multiplicando o comprimento da galeria pelo tempo gasto por metro. a lógica, vamos aplicá-la ao problema.
📌 Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
- Os pontos dados no sistema de coordenadas são F (-1,1) e B (1,-1).
- A reta F → B é a diagonal de um quadrado de lado 2.
- A semicircunferência tem centro na origem (0,0)(0,0)(0,0) e raio igual à metade da diagonal.
Agora, vamos calcular!
✅ Passo 4: Desenvolvimento de Raciocínio
🟢 Caminho 1: Segmento de reta (caminho mais curto, mas não necessariamente o mais rápido)
Distância entre F e B:
Usando a aproximação √2≈1.4:
- 2×1.4=2.8 km=2800 m
Tempo para construir esse caminho:
- 2800×1.0=2800 horas
🔵 Caminho 2: Semicircunferência (caminho mais longo, mas mais rápido de construir)
Agora, vejamos a semicircunferência. O raio dessa semicircunferência é metade da diagonal da reta que calculamos:
- r= 2√2/2 = √2
Usando √2≈1.4:
- r≈1.4 km
Agora, usamos a fórmula do comprimento da semicircunferência:
- C=πr
Substituindo os valores:
- C=3×1.4=4.2 km=4200 m
Agora, aplicamos o tempo de construção da semicircunferência:
- Tempo=4200×0.6=2520 horas
🔥 Comparação entre os caminhos
Agora surge a grande sacada da questão:
- O caminho reto (2800 m) é mais curto, mas leva 1 hora por metro.
- O caminho curvo (4200 m) é mais longo, mas leva 0,6 hora por metro.
Por que a semicircunferência é mais rápida?
A reta minimiza a distância, mas a obra avança devagar (1 metro por hora).
A semicircunferência aumenta a distância, mas a obra avança mais rápido (1 metro a cada 0,6 hora).
O fator decisivo é que, mesmo percorrendo um caminho maior, a velocidade de construção na semicircunferência compensa, reduzindo o tempo total de 2800 horas para 2520 horas.
Assim, o caminho mais curto nem sempre é o mais rápido! 🚀
✨ Passo 4: Análise das Alternativas
Agora, vamos analisar as opções:
✅ Alternativa B) 2.520 → Correta!
Esse é o tempo necessário para construir a semicircunferência, que é o caminho mais rápido.
❌ Alternativa A) 1.260 → Errada!
Esse valor seria metade do tempo correto. Possível erro: considerar metade da semicircunferência ao invés de toda ela.
❌ Alternativa C) 2.800 → Errada!
Esse é o tempo da construção da reta, que não é o menor tempo possível.
❌ Alternativa D) 3.600 → Errada!
Esse valor é maior do que qualquer dos tempos possíveis. Possível erro: considerar um círculo inteiro ao invés da semicircunferência.
❌ Alternativa E) 4.000 → Errada!
Valor sem correspondência nos cálculos, pode ter vindo de um erro na conta do comprimento da semicircunferência.
🎯Passo 5: Conclusão e Justificativa Final
O problema apresentava dois caminhos possíveis para a construção da galeria. O tempo de construção depende do comprimento do trajeto e do tempo necessário por metro.
- A reta tem um comprimento menor, mas a construção por esse caminho é mais lenta.
- A semicircunferência tem um caminho mais longo, mas a construção é mais rápida.
No final, a semicircunferência é o caminho que permite a conclusão mais rápida da obra, com 2.520 horas.
✅ Alternativa correta: B) 2.520 horas.
