Um senhor, pai de dois filhos, deseja comprar dois terrenos, com áreas de mesma medida, um para cada filho. Um dos terrenos visitados já está demarcado e, embora não tenha um formato convencional (como se observa na Figura B), agradou ao filho mais velho e, por isso, foi comprado. O filho mais novo possui um projeto arquitetônico de uma casa que quer construir, mas, para isso, precisa de um terreno na forma retangular (como mostrado na Figura A) cujo comprimento seja 7 m maior do que a largura.
Para satisfazer o filho mais novo, esse senhor precisa encontrar um terreno retangular cujas medidas, em metro, do comprimento e da largura sejam iguais, respectivamente, a
A) 7,5 e 14,5.
B) 9,0 e 16,0.
C) 9,3 e 16,3.
D) 10,0 e 17,0.
E) 13,5 e 20,5.
Resolução em texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Geometria plana, área de triângulo, área de retângulo, equação do 2.º grau.
Nível da Questão: Médio.
Gabarito: B (9,0 e 16,0).
Tema/Objetivo Geral: Determinar as dimensões de um terreno retangular que possua a mesma área de outro terreno já comprado, cuja forma não é convencional.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificando o Objetivo: A questão nos pede para encontrar as medidas exatas do comprimento e da largura do terreno retangular (Figura A) que o pai precisa comprar para o filho mais novo.
Simplificando, o verdadeiro desafio aqui é um trabalho de detetive em duas etapas. Primeiro, precisamos descobrir a área do terreno de formato estranho da Figura B. Depois, usamos essa área como a peça-chave para desvendar as medidas do terreno retangular da Figura A, já que o enunciado nos diz que os dois terrenos devem ter áreas de mesma medida.
Nosso Roteiro de Ação (Plano de Ataque) será o seguinte:
1. Calcular a área do terreno não convencional da Figura B, decompondo-o em formas geométricas simples.
2. Montar a equação para a área do terreno retangular da Figura A, usando as variáveis x e x + 7.
3. Igualar as duas áreas, pois essa é a condição fundamental do problema.
4. Resolver a equação resultante para encontrar o valor de x.
5. Determinar as medidas finais da largura (x) e do comprimento (x + 7).
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para resolver este quebra-cabeça, precisaremos de duas ferramentas básicas da nossa caixa de geometria e álgebra.
Dossiê de Ferramentas:
- Ferramenta 1: Área de um Triângulo Retângulo
- Função: Calcular a área de qualquer triângulo que possua um ângulo de 90°.
- Fórmula: Área = (base × altura) / 2.
- Aplicação: Usaremos esta ferramenta para calcular a área da Figura B.
- Ferramenta 2: Equação do Segundo Grau (Bhaskara ou Fatoração)
- Função: Encontrar o valor de uma incógnita (x) quando ela aparece elevada ao quadrado (ax² + bx + c = 0).
- Aplicação: Usaremos esta ferramenta para descobrir o valor de x na Figura A depois de igualarmos as áreas.
Com estas duas ferramentas em mãos, o problema se torna um processo metódico e sem segredos.
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos agora executar nosso plano, passo a passo.
Etapa 1: Calcular a área da Figura B.
O formato da Figura B é a grande pegadinha. À primeira vista, parece uma forma complexa e desconhecida. Mas os símbolos de ângulo reto (os pequenos quadrados nos cantos) são as pistas decisivas. Eles nos revelam que podemos dividir essa figura em duas formas muito simples se traçarmos uma linha diagonal imaginária.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
O erro mais comum aqui é tentar calcular a área da Figura B usando fórmulas de trapézio ou aplicando o Teorema de Pitágoras de forma incorreta. A figura foi desenhada para ser confusa. A chave é ignorar a forma como um todo e procurar pelas peças que a compõem. O segredo está em traçar a diagonal que conecta o vértice inferior esquerdo (onde há um ângulo de 90°) ao vértice superior direito (o outro ângulo de 90° não está ali, mas entre os lados de 21m e 3m). Ao fazer isso, a figura se divide magicamente em:
- Triângulo 1 (de baixo): Um triângulo retângulo com base = 15 m e altura = 15 m.
- Triângulo 2 (de cima): Um triângulo retângulo com os lados que formam o ângulo de 90° medindo 21 m e 3 m.
Agora, aplicamos nossa Ferramenta 1:
- Área do Triângulo 1 = (15 × 15) / 2 = 225 / 2 = 112,5 m²
- Área do Triângulo 2 = (21 × 3) / 2 = 63 / 2 = 31,5 m²
A área total da Figura B é a soma das duas:
Área B = 112,5 + 31,5 = 144 m²
Etapa 2 e 3: Montar a equação e igualar as áreas.
A área da Figura A é a de um retângulo: Área A = comprimento × largura.
Área A = (x + 7) × x
Como Área A = Área B:
x(x + 7) = 144
Etapa 4: Resolver a equação.
Agora, usamos a Ferramenta 2.
x² + 7x = 144
x² + 7x – 144 = 0
Esta é uma equação do segundo grau. Podemos usar a fórmula de Bhaskara ou tentar fatorar. Vamos fatorar: precisamos de dois números que multiplicados dão -144 e somados dão +7. Os números são +16 e -9.
(x + 16)(x – 9) = 0
As soluções possíveis são x = -16 ou x = 9. Como x é a medida de um terreno, não pode ser negativo. Portanto, x = 9.
Etapa 5: Determinar as medidas finais.
- Largura = x = 9 m
- Comprimento = x + 7 = 9 + 7 = 16 m
Síntese do raciocínio: Decompusemos a figura complexa B em dois triângulos retângulos simples e somamos suas áreas, totalizando 144 m². Em seguida, igualamos essa área à área da figura retangular A, x(x+7), o que nos levou a uma equação do segundo grau. Ao resolver a equação, encontramos x=9, que nos permitiu calcular as dimensões finais do terreno.
Expectativa: A alternativa correta deve apresentar os valores 9,0 m para a largura e 16,0 m para o comprimento, respectivamente.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
Agora, vamos verificar as alternativas.
A) 7,5 e 14,5.
- A Narrativa do Erro: O aluno pode ter errado o cálculo da área da Figura B ou ter tentado resolver a equação “de cabeça”, chutando valores próximos.
- O Diagnóstico do Erro: “Erro de Cálculo”. A área seria 7,5 × 14,5 = 108,75 m², que é diferente de 144 m².
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) 9,0 e 16,0.
- Análise: Corresponde perfeitamente ao nosso cálculo. Largura = 9 m e Comprimento = 16 m. A área é 9 × 16 = 144 m².
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
C) 9,3 e 16,3.
- A Narrativa do Erro: Provavelmente um erro no cálculo da fórmula de Bhaskara ou uma aproximação indevida em alguma etapa.
- O Diagnóstico do Erro: “Erro de Cálculo”. A área seria aproximadamente 151,6 m².
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D) 10,0 e 17,0.
- A Narrativa do Erro: Um chute comum, pois são números redondos. O aluno pode ter arredondado 9 para 10.
- O Diagnóstico do Erro: “Erro de Aproximação”. A área seria 170 m².
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) 13,5 e 20,5.
- A Narrativa do Erro: O aluno pode ter esquecido de dividir a área dos triângulos por 2. Nesse caso, a área total seria 225 + 63 = 288 m². A equação x(x+7) = 288 leva a x = 13,55…, um valor próximo a 13,5.
- O Diagnóstico do Erro: “Erro Conceitual Grave” (esquecer o “/2” na fórmula da área do triângulo).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A resposta correta é a B), pois a área do terreno B é de 144 m², e as únicas dimensões para o terreno A que satisfazem a área de 144 m² e a condição de o comprimento ser 7 m maior que a largura são 9 m e 16 m.
Resumo-flash (A Imagem Mental): Um monstro geométrico é apenas um quebra-cabeça de peças simples esperando para ser desmontado.
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro): Esta questão ilustra uma ponte perfeita entre a Geometria Plana e a Engenharia Civil/Topografia. No mundo real, terrenos raramente são retângulos perfeitos. Topógrafos e engenheiros usam uma técnica chamada triangulação para medir a área de terrenos irregulares. Eles dividem a área total em uma série de triângulos, medem os lados e ângulos de cada um, calculam suas áreas individualmente e, por fim, somam tudo. O que fizemos para resolver a Figura B é exatamente uma versão simplificada do trabalho diário desses profissionais, mostrando como a matemática escolar é a base para soluções práticas e complexas no mundo real.
