Uma família resolveu comprar um imóvel num bairro cujas ruas estão representadas na figura. As ruas com nomes de letras são paralelas entre si e perpendiculares às ruas identificadas com números. Todos os quarteirões são quadrados, com as mesmas medidas, e todas as ruas têm a mesma largura, permitindo caminhar somente nas direções vertical e horizontal. Desconsidere a largura das ruas.
A família pretende que esse imóvel tenha a mesma distância de percurso até o local de trabalho da mãe, localizado na rua 6 com a rua E, o consultório do pai, na rua 2 com a rua E, e a escola das crianças, na rua 4 com a rua A.
Com base nesses dados, o imóvel que atende as pretensões da família deverá ser localizado no encontro das ruas
A) 3 e C
B) 4 e C
C) 4 e D
D) 4 e E
E) 5 e C
Resolução em texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Geometria Analítica básica, Distância em grade (distância Manhattan).
Nível da Questão: Médio.
Gabarito: C (4 e D).
Tema/Objetivo Geral: Determinar, em um bairro cujas ruas formam uma malha quadriculada, o ponto equidistante (em termos de percurso horizontal e vertical) de três locais específicos.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Retomar o Comando da Questão:
“A família quer comprar um imóvel em um bairro quadriculado, de modo que a distância de percurso até três locais seja a mesma. Os locais são: (rua 6 com rua E), (rua 2 com rua E) e (rua 4 com rua A). Precisamos identificar em qual interseção de ruas esse imóvel deve ficar para ter a mesma distância a esses três pontos.”
🔹 Explicação Detalhada (O que está sendo pedido):
O enunciado descreve um bairro onde as ruas com letras são paralelas entre si e perpendiculares às ruas com números, formando quarteirões quadrados. A família quer um ponto cujo percurso em ruas (vertical e horizontal) até os três locais seja o mesmo. O exercício pede que identifiquemos a interseção que satisfaz essa condição.
✔ Identificação de Palavras-chave:
- “Mesmo percurso”
- “Rua 6 com rua E”, “Rua 2 com rua E”, “Rua 4 com rua A”
- “Quarteirões quadrados”
- “Distância Manhattan (vertical e horizontal)”
📌 Definição do Objetivo:
Encontrar, dentre as interseções disponíveis (dadas nas alternativas), aquela cujas distâncias para os três locais mencionados sejam iguais.
➡️ “Agora que o comando foi analisado e o objetivo definido, vamos abordar os conceitos e conteúdos necessários.”
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📌 Conceitos Matemáticos Essenciais:
- Distância em Grade ou Distância Manhattan: Se temos dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) em um sistema de coordenadas de ruas, a distância é |x1 – x2| + |y1 – y2|.
- Interpretação das Ruas:
- As ruas com números (1 a 6) são, por exemplo, as “coordenadas x”.
- As ruas com letras (A a F) são as “coordenadas y”.
🔹 Fórmulas e Definições:
- Distância Manhattan = |x1 – x2| + |y1 – y2|.
➡️ “Com os conceitos bem estabelecidos, vamos agora interpretar o texto da questão.”
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
📌 Análise do Contexto:
- O local de trabalho da mãe é na Rua 6 com Rua E → (x=6, y=E).
- O consultório do pai é na Rua 2 com Rua E → (x=2, y=E).
- A escola das crianças é na Rua 4 com Rua A → (x=4, y=A).
- Queremos um ponto (X, Y) cuja distância Manhattan até esses três pontos seja a mesma.
🔹 Identificação de Frases-chave:
- “Mesmo percurso até três locais.”
- “Malha de ruas perpendiculares e paralelas.”
✔ Tradução para Termos Matemáticos:
- A distância do ponto (X, Y) a (6, E) é |X – 6| + |Y – E|.
- A distância a (2, E) é |X – 2| + |Y – E|.
- A distância a (4, A) é |X – 4| + |Y – A|.
➡️ “Agora que interpretamos o texto, vamos desenvolver o raciocínio e realizar os cálculos necessários.”
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
📌 Resolução Completa:
- Definindo Coordenadas Numéricas:
- Associe as ruas numéricas a x=1,2,3,4,5,6.
- Associe as ruas A,B,C,D,E,F a y=1,2,3,4,5,6.
- Então:
- (6, E) → (x=6, y=5)
- (2, E) → (x=2, y=5)
- (4, A) → (x=4, y=1)
- Exigência de Distância Igual:
- Precisamos que a distância de (X, Y) a (6,5) seja igual à distância de (X, Y) a (2,5) e também à de (X, Y) a (4,1).
- Distância (X, Y) a (6,5) = |X – 6| + |Y – 5|.
- Distância (X, Y) a (2,5) = |X – 2| + |Y – 5|.
- Para serem iguais:
|X – 6| + |Y – 5| = |X – 2| + |Y – 5|. - Isso implica |X – 6| = |X – 2|, logo X deve ser o ponto médio de 2 e 6, ou seja X=4.
- Igualdade com (4,1):
- Então (X, Y) = (4, Y). Precisamos que a distância de (4, Y) a (6,5) = distância de (4, Y) a (4,1).
- Distância a (6,5): |4 – 6| + |Y – 5| = 2 + |Y – 5|.
- Distância a (4,1): |4 – 4| + |Y – 1| = 0 + |Y – 1| = |Y – 1|.
- Precisamos 2 + |Y – 5| = |Y – 1|.
- Solucionando 2 + |Y – 5| = |Y – 1|:
- Caso Y≥5, teríamos 2 + (Y-5) = Y-1 => Y-3 = Y-1 => Contradição.
- Caso Y<5, então |Y-5| = 5 – Y => 2 + (5 – Y) = |Y-1| => 7 – Y = |Y-1|.
- Se Y≥1 => |Y-1| = Y-1 => 7 – Y = Y-1 => 7 = 2Y -1 => 8 = 2Y => Y=4.
- Logo (X, Y) = (4, 4), isto é Rua 4 com Rua D (pois D corresponde a 4).
➡️ “Com os cálculos realizados, vamos agora analisar as alternativas apresentadas.”
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
📌 Reescrita das Alternativas:
A) 3 e C
B) 4 e C
C) 4 e D
D) 4 e E
E) 5 e C
✅ Justificativa da Alternativa Correta (C):
A interseção 4 e D (X=4, Y=D=4) é o ponto equidistante aos três locais.
❌ Análise das Alternativas Incorretas:
- A (3 e C): (X=3, Y=C=3) não equidistante.
- B (4 e C): (X=4, Y=C=3) também não equidistante dos três pontos.
- D (4 e E): (X=4, Y=E=5) não equidistante.
- E (5 e C): (X=5, Y=C=3) também não equidistante.
➡️ “Finalmente, vamos concluir a resolução com um resumo e a justificativa final.”
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 Resumo do Raciocínio:
- Convertendo ruas em coordenadas, vimos que X deve ser 4 para ficar na mesma distância entre (2,5) e (6,5).
- Comparando com (4,1), concluímos Y=4.
- Isso corresponde ao cruzamento da Rua 4 com Rua D.
📌 Reafirmação da Alternativa Correta:
A resposta certa é C (4 e D).
🔍 Resumo Final:
Por meio de distância Manhattan, a interseção (4, D) é o único ponto que fica à mesma distância dos três locais (6,E), (2,E) e (4,A). Portanto, o imóvel deve estar no encontro das ruas 4 e D.
