Como não são adeptos da prática de esportes, um grupo de amigos resolveu fazer um torneio de futebol utilizando videogame. Decidiram que cada jogador joga uma única vez com cada um dos outros jogadores. O campeão será aquele que conseguir o maior número de pontos. Observaram que o número de partidas jogadas depende do número de jogadores, como mostra o quadro:
Se a quantidade de jogadores for 8, quantas partidas serão realizadas?
A) 64
B) 56
C) 49
D) 36
E) 28
Resolução em texto
📖 Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Análise Combinatória.
📊 Nível da Questão: Médio.
✅ Gabarito: Alternativa E.
🎯 Tema/Objetivo Geral: Identificar a relação entre o número de jogadores e o número de partidas jogadas para determinar a quantidade de partidas quando há 8 jogadores.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Comando da questão:
Cada jogador joga uma única vez contra todos os outros. O objetivo é determinar quantas partidas ocorrerão se houver 8 jogadores.
📌 Explicação Detalhada:
A tabela apresentada no enunciado mostra a relação entre o número de jogadores e o número total de partidas disputadas. O padrão indica que, para cada novo jogador adicionado ao torneio, ele jogará contra todos os jogadores anteriores. Precisamos identificar esse padrão e usá-lo para calcular o número de partidas quando há 8 jogadores.
📌 Palavras-chave:
- “Cada jogador joga uma única vez com cada um dos outros jogadores” → Cada combinação de dois jogadores conta como uma partida.
- “Quantidade de jogadores” → Precisamos encontrar a relação entre o número de jogadores e o número de partidas.
- “Número de partidas realizadas” → Precisamos calcular quantos jogos ocorrem quando 8 jogadores participam.
📌 Objetivo:
Determinar o número total de partidas jogadas com 8 jogadores com base no padrão apresentado na tabela.
⚠️ Dica Geral:
Questões que envolvem combinação de elementos geralmente seguem padrões conhecidos. Sempre observe os números fornecidos para identificar uma regra matemática.
➡️ Agora que o comando foi analisado e o objetivo definido, vamos abordar os conceitos necessários.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📌 Conceito 1: Combinação Simples
Quando cada jogador enfrenta todos os outros uma única vez, estamos lidando com um problema de combinação de pares. O número de formas de escolher 2 jogadores entre N disponíveis é dado por:
✔ Fórmula da combinação de dois jogadores:
C(n,2) = (n × (n – 1)) / 2
📌 Conceito 2: Padrão observado na tabela
Ao analisar a tabela fornecida, percebemos que o número de partidas cresce conforme o número de jogadores aumenta. Para cada novo jogador adicionado, ele joga contra todos os jogadores anteriores.
➡️ Com os conceitos bem estabelecidos, vamos agora interpretar o texto da questão.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
📌 Analisando os dados da tabela:
| Quantidade de jogadores | Número de partidas |
|---|---|
| 2 | 1 |
| 3 | 3 |
| 4 | 6 |
| 5 | 10 |
| 6 | 15 |
| 7 | 21 |
✔ Observação do padrão:
Podemos notar que a quantidade de partidas segue um crescimento conforme um padrão definido:
- De 2 para 3 jogadores, o número de partidas aumenta em 2 (1 → 3).
- De 3 para 4 jogadores, o número de partidas aumenta em 3 (3 → 6).
- De 4 para 5 jogadores, o número de partidas aumenta em 4 (6 → 10).
- De 5 para 6 jogadores, o número de partidas aumenta em 5 (10 → 15).
- De 6 para 7 jogadores, o número de partidas aumenta em 6 (15 → 21).
Isso confirma que o padrão é:
✔ O próximo número de partidas é obtido somando-se o número de jogadores anterior ao total de partidas anteriores.
➡️ Agora que interpretamos o texto, vamos desenvolver o raciocínio e realizar os cálculos necessários.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
✔ Passo 1: Aplicar o padrão da tabela
Sabemos que, para 7 jogadores, o número de partidas foi 21. Como o próximo jogador enfrentará todos os 7 jogadores anteriores, o número de partidas aumentará em 7.
✔ Passo 2: Somar a quantidade de novas partidas
Número de partidas com 8 jogadores = 21 + 7 = 28.
✔ Passo 3: Verificar a fórmula matemática
Podemos também confirmar esse resultado utilizando a fórmula da combinação:
✔ C(8,2) = (8 × 7) / 2 = 28
➡️ Com os cálculos realizados, vamos agora analisar as alternativas apresentadas.
📌 Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
✅ Alternativa correta:
✔ 28 partidas (Alternativa E).
❌ Analisando as alternativas incorretas:
- A) 64 → Muito maior do que o esperado. Esse valor poderia ser o caso de um torneio onde cada jogador jogasse duas vezes contra cada adversário.
- B) 56 → Próximo ao dobro de 28, o que indicaria um erro de contagem duplicada.
- C) 49 → Poderia ser obtido caso houvesse uma interpretação errada do padrão.
- D) 36 → Próximo, mas ainda incorreto, pois não segue a progressão correta.
⚠️ Dica Geral:
Sempre que o problema envolver distribuição de pares ou confrontos, considere utilizar combinação C(n,2) para evitar contagens repetidas ou omissões.
➡️ Finalmente, vamos concluir a resolução com um resumo e a justificativa final.
📌 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 Resumo do Raciocínio:
- Analisamos a tabela e identificamos o padrão de crescimento do número de partidas.
- Percebemos que cada novo jogador joga contra todos os anteriores, aumentando o número de partidas conforme uma progressão.
- Somamos 7 ao total anterior (21) e obtivemos 28 partidas.
- Validamos o resultado utilizando a fórmula da combinação C(8,2), confirmando o valor de 28.
- Comparando com as alternativas, a resposta correta é a alternativa E.
📌 Reafirmação da Alternativa Correta:
✅ Alternativa correta: E (28 partidas).
🔍 Resumo Final:
A questão envolve Análise Combinatória aplicada a um torneio de partidas, onde cada jogador enfrenta todos os outros uma única vez. Observamos a progressão dos dados na tabela e aplicamos tanto a relação de crescimento quanto a fórmula de combinação C(n,2) para encontrar a resposta correta: 28 partidas com 8 jogadores.
