Um cientista, em seus estudos para modelar a pressão arterial de uma pessoa, utiliza uma função do tipo P(t) = A + Bcos(kt) em que A, B e K são constantes reais positivas e t representa a variável tempo, medida em segundo. Considere que um batimento cardíaco representa o intervalo de tempo entre duas sucessivas pressões máximas.
Ao analisar um caso específico, o cientista obteve os dados:
A função P(t) obtida, por este cientista, ao analisar o caso específico foi
A) P(t) = 99 + 21cos(3πt)
B) P(t) = 78 + 42cos(3πt)
C) P(t) = 99 + 21cos(2πt)
D) P(t) = 99 + 21cos(t)
E) P(t) = 78 + 42cos(t)
Resolução em texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Funções Trigonométricas, Equações Básicas de Sistema Linear.
Nível da Questão: Médio.
Gabarito: Alternativa A (P(t) = 99 + 21cos(3πt)).
Tema/Objetivo Geral: Modelar uma função cosseno que represente a pressão arterial, a partir de dados de pressão máxima, mínima e batimentos cardíacos por minuto.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Retomando o Comando da Questão: O cientista utiliza a função P(t) = A + Bcos(kt), em que:
- A é uma constante que indica a média da pressão,
- B é a amplitude (diferença entre a média e o valor máximo/mínimo),
- k está associado ao período de oscilação.
A pessoa tem:
- Pressão máxima = 120
- Pressão mínima = 78
- Número de batimentos = 90 por 60 segundos (ou seja, 90 batimentos em 1 minuto).
📌 Explicação Detalhada: Precisamos encontrar A, B e k na função P(t) de modo que:
- A pressão oscile entre 78 e 120.
- O período da função cosseno corresponda ao tempo entre duas pressões máximas, de acordo com a frequência cardíaca de 90 batimentos por minuto.
📌 Identificação de Palavras-chave:
- “Função do tipo P(t) = A + Bcos(kt)”
- “Pressão máxima e mínima”
- “Batimento cardíaco” = período da função.
📌 Definição do Objetivo: Encontrar a função exata que atenda aos dados, isto é, determinar A, B e k e selecionar a alternativa correta.
➡️ Agora que o comando foi analisado e o objetivo definido, vamos abordar os conceitos e conteúdos necessários.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📌 Conceitos Matemáticos Essenciais:
- Forma geral de uma Função Cosseno:
P(t) = A + Bcos(kt)- A é o valor médio,
- B é a amplitude (distância entre o valor médio e o máximo),
- k está relacionado ao período T por T = (2π / k).
- Interpretação dos valores máximo e mínimo:
- Quando cos(kt) = 1, obtemos a pressão máxima (A + B).
- Quando cos(kt) = -1, obtemos a pressão mínima (A – B).
📌 Frequência Cardíaca e Período:
- Se há 90 batimentos em 60 segundos, cada batimento leva (60 ÷ 90) = (2 ÷ 3) segundo.
- Esse tempo (2 ÷ 3) é o período T da função cosseno (tempo entre duas pressões máximas).
➡️ Com os conceitos claros, vamos interpretar o texto da questão.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
📌 Análise do Contexto:
- Pressão máxima = 120 → significa A + B = 120.
- Pressão mínima = 78 → significa A – B = 78.
- Batimento: 90 por minuto → 1 batimento a cada (2 ÷ 3) segundo → período T = 2 ÷ 3.
📌 Frases-chave:
- “A + Bcos(kt)”
- “Batimento cardíaco representa o intervalo entre duas pressões máximas.”
📌 Tradução para Termos Matemáticos:
- Sistema:
- A + B = 120
- A – B = 78
- Período T = (2 ÷ 3) e T = (2π ÷ k).
➡️ Agora que interpretamos o texto, vamos desenvolver o raciocínio e realizar os cálculos necessários.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
- Resolvendo o Sistema para A e B:
- A + B = 120
- A – B = 78
Somando as duas equações:
- (A + B) + (A – B) = 120 + 78
- 2A = 198
- A = 99
Usando A = 99 em A + B = 120:
- 99 + B = 120
- B = 21
- Encontrando k a partir do Período:
- Período T = (2 ÷ 3)
- Fórmula: T = (2π ÷ k)
- (2 ÷ 3) = (2π ÷ k)
- Multiplicando em cruz: k × (2 ÷ 3) = 2π
- k = (2π) ÷ (2 ÷ 3) = (2π) × (3 ÷ 2) = 3π
- Concluindo a Função:
- A = 99
- B = 21
- k = 3π
Portanto, P(t) = 99 + 21cos(3πt).
➡️ Com os cálculos realizados, vamos agora analisar as alternativas apresentadas.
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
- A) P(t) = 99 + 21cos(3πt)
- B) P(t) = 78 + 42cos(3πt)
- C) P(t) = 99 + 21cos(2πt)
- D) P(t) = 99 + 21cos(t)
- E) P(t) = 78 + 42cos(t)
✅ Alternativa Correta: A
- A = 99, B = 21, k = 3π → coincide com nosso resultado.
❌ Demais Alternativas:
- B) Erro no valor médio e amplitude.
- C) Erro no período (k deveria ser 3π, não 2π).
- D) Erro no período (k = 1).
- E) Erro na média (78) e amplitude (42).
➡️ Finalmente, vamos concluir a resolução com um resumo e a justificativa final.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 Resumo do Raciocínio:
- Resolvemos o sistema (A + B = 120 e A – B = 78) para encontrar A = 99 e B = 21.
- Calculamos o período a partir dos batimentos (90 por minuto), resultando em (2 ÷ 3) segundo, o que define k = 3π.
- A função final é P(t) = 99 + 21cos(3πt).
🔍 Resumo Final: A escolha correta é Alternativa A, pois respeita tanto a amplitude e média adequadas (99 e 21) quanto o período de (2 ÷ 3) segundo, definindo k = 3π.
