Para decorar uma mesa de festa infantil, um chefe de cozinha usará um melão esférico com diâmetro medindo 10 cm, o qual servirá de suporte para espetar diversos doces. Ele irá retirar uma calota esférica do melão, conforme ilustra a figura, e, para garantir a estabilidade deste suporte, dificultando que o melão role sobre a mesa, o chefe fará o corte de modo que o raio r da seção circular de corte seja de pelo menos 3 cm. Por outro lado, o chefe desejará dispor da maior área possível da região em que serão afixados os doces.
Para atingir todos os seus objetivos, o chefe deverá cortar a calota do melão numa altura h, em centímetro, igual a
A) 5 – √91/2
B) 10 – √91
C) 1
D) 4
E) 5
Resolução em texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Geometria Espacial, Teorema de Pitágoras.
📊 Nível da Questão: Médio.
✅ Gabarito: Alternativa C.
🎯 Tema/Objetivo Geral: Aplicar conceitos da esfera e do teorema de Pitágoras para determinar a altura correta do corte na calota esférica.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Comando da Questão:
Um chefe de cozinha usará um melão esférico como suporte para espetar doces e precisa cortar uma calota esférica para garantir a estabilidade do suporte. O corte será feito de modo que o raio da seção circular do corte seja de pelo menos 3 cm.
Explicação do Pedido:
O problema pede a altura do corte da calota esférica, de forma que atenda ao critério de estabilidade e maximize a área disponível para os doces.
Palavras-chave:
- Calota esférica: Parte cortada da esfera.
- Raio da seção de corte: Deve ser pelo menos 3 cm.
- Altura do corte: Deve ser determinada.
📌 Objetivo da Questão:
Utilizar Geometria Espacial e Teorema de Pitágoras para calcular h, a altura correta da calota esférica.
➡️ Agora que o objetivo foi identificado, vamos abordar os conceitos necessários.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📌 Esfera e Calota Esférica:
- A calota esférica é a parte superior cortada de uma esfera.
- O corte da calota resulta em uma seção circular na base.
📌 Relação entre os Elementos da Esfera:
- O raio da esfera é metade do diâmetro, então:
✔ Raio da esfera = 10 / 2 = 5 cm - O raio da seção de corte é fornecido: r = 3 cm.
📌 Teorema de Pitágoras Aplicado à Esfera:
O corte forma um triângulo retângulo, onde:
✔ Hipotenusa = raio da esfera (5 cm)
✔ Cateto 1 = raio da base do corte (3 cm)
✔ Cateto 2 = distância do centro da esfera até a base cortada (x)
➡️ Com os conceitos explicados, vamos interpretar os dados fornecidos no problema.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
📌 O enunciado descreve a situação:
- O melão tem formato esférico e seu diâmetro é 10 cm.
- Para garantir estabilidade, o chefe deve cortar uma calota esférica.
- A base do corte forma uma seção circular com raio de pelo menos 3 cm.
- Devemos calcular a altura h da calota esférica.
📌 Conversão para termos matemáticos:
- O raio da esfera foi identificado como 5 cm.
- O triângulo retângulo envolvido terá hipotenusa = 5 cm, base = 3 cm e altura desconhecida x.
- A altura h da calota será obtida a partir da relação h = raio – x.
➡️ Agora, vamos resolver matematicamente o problema.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
📌 Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo formado:
Hipotenusa² = Cateto 1² + Cateto 2²
Substituindo os valores conhecidos:
5² = 3² + x²
25 = 9 + x²
x² = 16
x = 4
📌 Determinando a altura h do corte:
A altura h da calota esférica é dada por:
h = raio da esfera – x
h = 5 – 4
h = 1
➡️ Agora, vamos analisar as alternativas para confirmar a resposta correta.
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
📌 Revisando as alternativas:
- A) 5 – √91/2 ❌ (Não corresponde ao cálculo realizado.)
- B) 10 – √91 ❌ (Não corresponde ao valor obtido.)
- C) 1 ✅ (Corresponde ao resultado encontrado.)
- D) 4 ❌ (Valor incorreto.)
- E) 5 ❌ (Valor incorreto.)
✅ Alternativa Correta: C) 1.
➡️ Finalmente, vamos concluir a resolução com um resumo e a justificativa final.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 Resumo do Raciocínio:
- O problema envolve Geometria Espacial e exige o uso do Teorema de Pitágoras.
- A esfera tem raio de 5 cm e a seção de corte tem raio de 3 cm.
- Aplicamos Pitágoras no triângulo formado, obtendo x = 4 cm.
- A altura h da calota esférica é h = 5 – 4 = 1 cm.
📌 Reafirmação da Alternativa Correta:
O valor correto da altura do corte é 1 cm, correspondente à alternativa C.
🔍 Resumo Final:
Utilizando Teorema de Pitágoras, determinamos que a altura do corte h é 1 cm, garantindo estabilidade ao suporte e permitindo a fixação máxima dos doces.
✅ Resposta Final: Alternativa C.
