O fisiologista inglês Archibald Vivian Hill propôs, em seus estudos, que a velocidade V de contração de um músculo ao ser submetido a um peso p é dada pela equação (p + a) (v +b) = K, com a, b e K constantes.
Um fisioterapeuta, com o intuito de maximizar o efeito benéfico dos exercícios que recomendaria a um de seus pacientes, quis estudar essa equação e a classificou desta forma:
O fisioterapeuta analisou a dependência entre v e p na equação de Hill e a classificou de acordo com sua representação geométrica no plano cartesiano, utilizando o par de coordenadas (p. V). Admita que K> 0.
Disponível em: http://rspb.royalsocietypublishing.org. Acesso em: 14jul2015 (adaptado).
O gráfico da equação que o fisioterapeuta utilizou para maximizar o efeito dos exercícios é do tipo
A) Semirreta oblíqua.
B) semirreta horizontal.
C) ramo de parábola.
D) arco de circunferência.
E) ramo de hipérbole.
Resolução em texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Geometria Analítica (Estudo de Funções e Curvas Cônicas).
Nível da Questão: Médio.
Gabarito: Alternativa E (ramo de hipérbole).
Tema/Objetivo Geral: Analisar a forma da equação (p + a)(v + b) = K, com K > 0, e classificá-la no plano (p, v).
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Retomar o Comando da Questão
A equação de Hill, dada por (p + a)(v + b) = K, descreve a relação entre duas variáveis p (peso) e v (velocidade), onde K > 0 e a, b são constantes. Quer-se descobrir qual curva no plano cartesiano (p, v) ela representa, escolhendo entre semirreta oblíqua, semirreta horizontal, ramo de parábola, arco de circunferência ou ramo de hipérbole.
🔹 Explicação Detalhada
Devemos analisar a forma de (p + a)(v + b) = K para ver se é uma hipérbole, parábola, circunferência, etc. Vamos verificar o comportamento da equação e a presença de possíveis assíntotas, o que caracteriza uma hipérbole.
✔ Identificação de Palavras-chave
- “Equação de Hill”
- “(p + a)(v + b) = K”
- “Curva no plano cartesiano”
- “K > 0”
✔ Definição do Objetivo
Classificar a curva gerada por (p + a)(v + b) = K como uma das opções fornecidas.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📌 Conceitos Matemáticos Essenciais
- Hipérbole em coordenadas transladadas: Uma hipérbole pode aparecer como (x – h)(y – k) = C, com C ≠ 0, gerando assíntotas e dois ramos.
- Parábola: Geralmente surge como y = a x² + b x + c ou algo análogo.
- Circunferência: Geralmente surge como (x – h)² + (y – k)² = R².
- Retas ou semirretas: Teriam forma linear (por exemplo, y = m x + b).
🔹 Fórmulas em letras comuns e em negrito
- (p + a)(v + b) = K
- v = K / (p + a) – b
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
📌 Análise do Contexto
- O fisiologista Hill propôs (p + a)(v + b) = K.
- O fisioterapeuta analisou esse modelo e quer classificá-lo geometricamente.
- Sabemos que K > 0.
- Buscamos a curva que essa equação descreve.
🔹 Identificação de Frases-chave
- “(p + a)(v + b) = K”
- “K > 0”
- “Classificação da curva no plano (p, v).”
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
📌 Resolução Completa
- Considere a equação (p + a)(v + b) = K, com K > 0.
- Para entender o tipo de curva, podemos isolar v:
v = K / (p + a) – b - Observando esse formato, percebemos que conforme (p + a) se aproxima de zero, v tende a valores muito grandes em módulo (indicando assíntota vertical em p = -a).
- Além disso, à medida que p cresce, v se aproxima de -b, sugerindo assíntota horizontal em v = -b.
- Esse comportamento de duas assíntotas perpendiculares (ou não) é característico de uma hipérbole.
- Assim, o gráfico é um ramo (ou dois ramos) de hipérbole no plano (p, v).
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
📌 Reescrita e Análise das Alternativas
A) Semirreta oblíqua
B) Semirreta horizontal
C) Ramo de parábola
D) Arco de circunferência
E) Ramo de hipérbole
✅ Justificativa da Alternativa Correta
Como a equação (p + a)(v + b) = K (com K > 0) gera um comportamento com assíntotas, trata-se de uma hipérbole. Logo, a resposta correta é E (ramo de hipérbole).
❌ Análise das Alternativas Incorretas
- A e B (semirretas) não fazem sentido, pois a equação não é linear.
- C (ramo de parábola) envolveria polinômio de grau 2, não condiz com a forma inversa.
- D (arco de circunferência) envolveria soma de quadrados igual a constante, o que não ocorre.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 Resumo do Raciocínio
A equação (p + a)(v + b) = K apresenta assíntotas em p = -a e v = -b, indicando que a curva é um ramo de hipérbole.
🔍 Resumo Final
Portanto, o gráfico da equação de Hill, no plano (p, v), é um ramo de hipérbole. A alternativa correta é E.
