iveiros de lagostas são construídos, por cooperativas locais de pescadores, em formato de prismas reto-retangulares, fixados ao solo e com telas flexíveis de mesma altura, capazes de suportar a corrosão marinha. Para cada viveiro a ser construído, a cooperativa utiliza integralmente 100 metros lineares dessa tela, que é usada apenas nas laterais.
Quais devem ser os valores de X e de Y, em metro, para que a área da base do viveiro seja máxima?
A) 1 e 49
B) 1 e 99
C) 10 e 10
D) 25 e 25
E) 50 e 50
Resolução em texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Geometria (prismas e otimização de áreas), Álgebra elementar.
Nível da Questão: Médio.
Gabarito: Alternativa D (X = 25 e Y = 25).
Tema/Objetivo Geral: Otimizar (maximizar) a área da base de um prisma reto–retangular sujeita a um contorno lateral total de 100 metros de tela.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Retomar o Comando da Questão
Temos um viveiro em formato de prisma reto–retangular, no qual somente as laterais recebem a tela flexível. O total de tela é de 100 metros lineares, utilizados para cobrir as quatro laterais. Sabemos que a altura é fixa e a mesma tela é usada em torno do retângulo-base, resultando em um perímetro de 100 metros para esse retângulo-base. Queremos saber quais devem ser os valores XX e YY (medidas dos lados da base) para que a área base X×YX\times Y seja máxima.
🔹 Explicação Detalhada
A soma dos comprimentos das laterais é dada pelo perímetro do retângulo ao redor do viveiro (sem contar tampo ou fundo). Então 2 X+2 Y=100.2\,X + 2\,Y = 100. Precisamos maximizar X×YX\times Y, sujeito a X+Y=50.X + Y = 50.
✔ Identificação de Palavras-Chave
- “Prisma reto–retangular”
- “Base do viveiro”
- “Área máxima”
- “Perímetro fixo (100 m de tela nas laterais)”
✔ Definição do Objetivo
Encontrar XX e YY que maximizem a área X×YX\times Y sob a condição 2 X+2 Y=100.2\,X + 2\,Y = 100.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📌 Conceitos Matemáticos Essenciais
- Perímetro de um retângulo: P=2 X+2 Y.P = 2\,X + 2\,Y.
- Área de um retângulo: A=X×Y.A = X\times Y.
- Maximização sob restrição: Para perímetro fixo, o retângulo de maior área é aquele que se aproxima de um quadrado.
🔹 Fórmulas (em letras comuns e em negrito)
- Equação do perímetro: 2X + 2Y = 100.
- Área: X × Y.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
📌 Análise do Contexto
- A cooperativa usa 100 m de tela apenas nas laterais do prisma, o que corresponde ao perímetro do retângulo na base, pois a altura não entra nos 100 m.
- Precisamos achar o par (X, Y) que dê a maior área, com 2X + 2Y = 100.
🔹 Identificação de Frases-chave
- “…usa integralmente 100 metros lineares nessa tela…”
- “…formato de prismas reto–retangulares…”
- “Qual deve ser o par (X, Y) para área da base máxima?”
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
📌 Resolução Completa
- A restrição do perímetro é 2X + 2Y = 100.
- Simplificando: X + Y = 50.
- A área é A = X × Y.
- Substituindo Y = 50 – X, obtemos A = X × (50 – X).
- A expressão A = 50X – X² é uma parábola que abre para baixo, com valor máximo no ponto em que X é metade de 50, ou seja, X = 25.
- Consequentemente, Y também vale 25 para satisfazer X + Y = 50.
🔹 Conclusão
O retângulo de base com dimensões 25 m × 25 m apresenta a maior área possível, dado o perímetro total de 100 m.
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
📌 Reescrita das Alternativas
A) X = 1 e Y = 49
B) X = 1 e Y = 99
C) X = 10 e Y = 10
D) X = 25 e Y = 25
E) X = 50 e Y = 50
✅ Justificativa da Alternativa Correta
O par 25 × 25 satisfaz 2(25) + 2(25) = 100 e maximiza a área, resultando em 625 m², superior a qualquer outro par que obedeça o mesmo perímetro. Logo, a correta é a Alternativa D.
❌ Análise das Alternativas Incorretas
- A e B satisfazem ou não satisfazem a equação do perímetro; mesmo que satisfaçam, suas áreas seriam menores que 625.
- C (10,10) geraria perímetro 40, que não atinge 100.
- E (50,50) geraria 2×50 + 2×50 = 200, não 100.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 Resumo do Raciocínio
Para um perímetro fixo, o retângulo de maior área é um quadrado. Com 2X + 2Y = 100, obtemos X = 25 e Y = 25.
🔍 Resumo Final
Portanto, o viveiro de maior área será aquele com medidas 25 m por 25 m, conforme indicado na Alternativa D.
