O comitê organizador da Copa do Mundo 2014 criou a logomarca da Copa, composta de uma figura plana e o slogan “Juntos num só ritmo”, com mãos que se unem formando a taça Fifa. Considere que o comitê organizador resolvesse utilizar todas as cores da bandeira nacional (verde, amarelo, azul e branco) para colorir a logomarca, de forma que regiões vizinhas tenham cores diferentes.
De quantas maneiras diferentes o comitê organizador da Copa poderia pintar a logomarca com as cores citadas?
A) 15
B) 30
C) 108
D) 360
E) 972
Resolução em texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Contagem, Análise Combinatória.
Nível da Questão: Médio.
Gabarito: Alternativa E.
Tema/Objetivo Geral: Analisar a quantidade de maneiras de colorir uma figura composta por 6 regiões contíguas, de forma que regiões vizinhas tenham cores diferentes, usando 4 cores.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Retomar o Comando da Questão
Uma logomarca tem 6 regiões (A, B, C, D, E, F), e cada região deve ser colorida com uma das 4 cores (verde, amarelo, azul, branco), sob a restrição de que regiões vizinhas não podem ter a mesma cor.
🔹 Explicação Detalhada
Devemos contar o número total de maneiras de colorir essas 6 regiões distintas, garantindo que cada região compartilhando fronteira com outra tenha cores diferentes. O enunciado já induz a uma contagem simples por multiplicação, assumindo que a topologia do desenho não imponha restrições adicionais além do “cada região tem ao menos 1 fronteira” (o problema textual indica “mãos que se unem”, então consideramos que cada região toque, no mínimo, uma região anterior, exceto a primeira).
✔ Identificação de Palavras-Chave
- “Regiões vizinhas”
- “4 cores”
- “Logomarca”
- “Pintura”
✔ Definição do Objetivo
Encontrar quantas colorizações diferentes são possíveis, com 4 cores e nenhuma cor igual em regiões que se toquem.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📌 Conceitos Matemáticos Essenciais
- Princípio Fundamental da Contagem: se há A maneiras de fazer uma escolha e B maneiras de fazer outra, de forma independente, então existem A × B maneiras de realizar ambas.
- Restrições de coloração de regiões contíguas: toda vez que colorimos uma nova região, subtraímos as cores usadas na região imediatamente contígua.
🔹 Fórmulas e Definições (em letras comuns e em negrito)
- Total de colorizações = Produto das possibilidades em cada passo, dada a restrição de vizinhança.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
📌 Análise do Contexto
- Seis regiões da logomarca (A, B, C, D, E, F).
- Quatro cores disponíveis.
- Regiões contíguas devem ser diferentes em cor.
🔹 Identificação de Frases-Chave
- “De forma que regiões vizinhas tenham cores diferentes.”
- “Quatro cores para pintar (verde, amarelo, azul, branco).”
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
📌 Resolução Completa
- Região A: podemos escolher qualquer uma das 4 cores. Então 4 opções.
- Região B: ela é adjacente a A, portanto não pode repetir a cor de A. Logo 3 opções.
- Região C: também terá 3 opções, pois não pode ter a cor de uma região que já foi colorida e é vizinha a C (geralmente 1 cor usada).
- Região D: 3 opções, pela mesma lógica.
- Região E: 3 opções.
- Região F: 3 opções.
🔹 Produto das possibilidades
4 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 4 × 3^5 = 972.
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
📌 Reescrevendo as alternativas:
A) 15
B) 30
C) 108
D) 360
E) 972
✅ Justificativa da Alternativa Correta
Como o produto das escolhas possíveis é 972, a alternativa correta é a E.
❌ Análise das Alternativas Incorretas
- 15, 30, 108, 360 são valores muito abaixo do total (4 × 3^5).
- 972 é o único a condizer com essa multiplicação.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 Resumo do Raciocínio
Cada nova região tem 3 opções de cor (exceto a primeira, com 4). Multiplicando 4 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 972.
🔍 Resumo Final
O número de maneiras de pintar a logomarca, obedecendo às restrições, é 972, isto é, a Alternativa E.
