A manchete demonstra que o transporte de grandes cargas representa cada vez mais preocupação quando feito em vias urbanas.
Caminhão entala em viaduto no Centro
Um caminhão de grande porte entalou embaixo do viaduto no cruzamento das avenidas Borges de Medeiros e Loureiro da Silva no sentido Centro-Bairro, próximo à Ponte de Pedra, na capital. Esse veículo vinha de São Paulo para Porto Alegre e transportava três grandes tubos, conforme ilustrado na foto.
Considere que o raio externo de cada cano da imagem seja 0,60 m e que eles estejam em cima de uma carroceria cuja parte superior está a 1,30 m do solo. O desenho representa a vista traseira do empilhamento dos canos.
A margem de segurança recomendada para que um veículo passe sob um viaduto é que a altura total do veículo com a carga seja, no mínimo, 0,50 m menor do que a altura do vão do viaduto.
Considere 1,7 como aproximação para √3.
Qual deveria ser a altura mínima do viaduto, em metro, para que esse caminhão pudesse passar com segurança sob seu vão?
A) 2,82.
B) 3,52.
C) 3,70.
D) 4,02.
E) 4,20.
Resolução em texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Geometria plana (distâncias em configurações circulares), uso de triângulo equilátero e soma de alturas.
Nível da Questão: Médio.
Gabarito: Alternativa D.
Tema/Objetivo Geral: Calcular a altura mínima de um viaduto para que um caminhão com canos cilíndricos passe com a devida margem de segurança.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Retomar o Comando da Questão:
O enunciado descreve três canos cilíndricos de raio 0,60 m dispostos em uma carroceria que está a 1,30 m do solo. Dois canos ficam na base e um cano sobre eles, formando uma “pirâmide” de três círculos vistos por trás. Deseja-se saber a altura mínima do viaduto para que o conjunto passe com segurança, ou seja, com 0,50 m de folga acima.
🔹 Explicação Detalhada:
É preciso somar:
- Altura da carroceria.
- Distância vertical entre a base da carroceria e o topo do conjunto de canos.
- Margem de 0,50 m recomendada.
✔ Identificação de Palavras-chave:
- Raio 0,60 m
- Carroceria 1,30 m do solo
- Margem 0,50 m
- Empilhamento de 3 canos (2 na base e 1 em cima)
✔ Definição do Objetivo:
Encontrar a soma total que representa a altura mínima do viaduto: carroceria + altura do arranjo dos canos + margem de segurança.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📌 Conceitos Matemáticos Essenciais:
- Soma de alturas em um arranjo de círculos: Cada cano tem raio 0,60 m.
- Altura de triângulo equilátero: Se o lado é L, a altura é L × √3 / 2.
- Cálculo total: Precisamos somar distâncias para obter a altura do topo do cano superior.
🔹 Fórmulas e Definições :
- Altura do triângulo equilátero = lado × √3 / 2
- Distância total = altura da carroceria + diâmetros/raios + altura adicional + margem
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
📌 Análise do Contexto:
- O caminhão carrega 3 canos de raio 0,60 m.
- Dois canos ficam lado a lado e o terceiro por cima, encostando nos dois de baixo.
- O cano superior forma um triângulo equilátero com os de baixo nos centros dos círculos.
- A altura do caminhão (do chão até o topo dos canos) precisa ser 0,50 m menor que o vão do viaduto.
🔹 Identificação de Frases-chave:
- “Raio 0,60 m”
- “Carroceria 1,30 m”
- “Margem de 0,50 m”
🔹 Tradução para Termos Matemáticos:
- O “lado” do triângulo formado pelos centros dos canos de baixo e o cano de cima é 1,20 m (pois cada raio é 0,60 m, então 0,60 + 0,60).
- A altura do triângulo equilátero é 1,20 × √3 / 2.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
📌 Resolução Completa:
- Altura da carroceria: 1,30 m.
- Altura até o topo dos canos:
- Dois canos de baixo contribuem 0,60 m de raio até o centro + 0,60 m até o topo.
- Mas há uma altura extra para o cano de cima: a altura do triângulo equilátero formado pelos centros (1,20 × √3 / 2).
- Se preferirmos, podemos raciocinar: do chão até o topo do cano superior = 1,30 m (carroceria) + 0,60 m (raio dos canos de baixo) + [1,20 × √3 / 2] (elevação do centro do cano superior) + 0,60 m (do centro ao topo do cano superior).
- Margem de segurança: 0,50 m a mais.
🔹 Explicação dos Cálculos :
- Cálculo da altura do triângulo: 1,20 × √3 / 2.
- O enunciado sugere 1,7 como aproximação de √3, então:
(1,20 × 1,7) / 2 = 1,02 - Então a altura total do caminhão é:
1,30 + 0,60 + 1,02 + 0,60 = 3,52 - Somando a margem de 0,50:
3,52 + 0,50 = 4,02
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
📌 Reescrita das Alternativas (Resumo):
A) 2,82
B) 3,52
C) 3,70
D) 4,02
E) 4,20
✅ Justificativa da Alternativa Correta (D):
Ao final, a soma de tudo é 4,02 m. Essa é a altura mínima do viaduto.
❌ Análise das Alternativas Incorretas:
- (A), (B), (C) e (E) não batem com o somatório que fizemos.
- Somente (D) condiz com o valor exato calculado.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 Resumo do Raciocínio:
- Somamos a altura da carroceria, os raios e a altura do triângulo, e adicionamos 0,50 m.
- Encontramos 4,02 m.
🔍 Resumo Final:
A altura mínima do viaduto deve ser 4,02 m, o que corresponde à Alternativa D.
