A água para o abastecimento de um prédio é armazenada em um sistema formado por dois reservatórios idênticos, em formato de bloco retangular, ligados entre si por um cano igual ao cano de entrada, conforme ilustra a figura.
A água entra no sistema pelo cano de entrada no Reservatório 1 a uma vazão constante e, ao atingir o nível do cano de ligação, passa a abastecer o Reservatório 2. Suponha que, inicialmente, os dois reservatórios estejam vazios.
Qual dos gráficos melhor descreverá a altura h do nível da água no Reservatório 1, em função do volume V de água no sistema?
Resolução em texto
Informações Iniciais
- Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Interpretação de gráficos, raciocínio sobre volume e altura de reservatórios.
- Nível da Questão: Médio.
- Gabarito: Alternativa D.
- Tema/Objetivo Geral (Opcional): Analisar como a altura no Reservatório 1 evolui à medida que aumenta o volume total de água no sistema formado por dois reservatórios ligados.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Retomar o Comando da Questão:
Quer-se saber como varia a altura da água (h) no Reservatório 1 em função do volume total de água (V) em dois reservatórios interligados. A água entra primeiro no Reservatório 1, depois, ao atingir certo nível, passa para o Reservatório 2.
🔹 Explicação Detalhada:
Devemos identificar qual entre os gráficos fornecidos melhor descreve a relação entre h (no Reservatório 1) e V (soma dos volumes nos dois reservatórios), considerando que, até o nível do cano, só o Reservatório 1 enche; depois, parte da água começa a encher também o Reservatório 2, alterando a forma como h evolui.
✔ Identificação de Palavras-chave:
- “dois reservatórios”
- “ligados por um cano”
- “vazão constante”
- “altura no Reservatório 1”
- “função do volume total de água”
✔ Definição do Objetivo:
Determinar qual gráfico representa o comportamento de h no Reservatório 1 conforme cresce o volume V total do sistema.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📌 Conceitos Matemáticos Essenciais:
- Funções e Gráficos: Precisamos reconhecer como uma variável (altura) depende de outra (volume).
- Reservatórios Interligados: Antes de a água atingir a altura do cano, apenas um reservatório é preenchido; depois, passa a encher o outro também.
🔹 Fórmulas e Definições (em letras comuns e em negrito):
- Volume total = Volume no Reservatório 1 + Volume no Reservatório 2
- Nível de água no Reservatório 1: permanece constante quando o volume adicional passa para o Reservatório 2 (até igualarem-se).
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
📌 Análise do Contexto:
- Inicialmente, o Reservatório 1 começa vazio e enche até o cano de ligação.
- Assim que atinge esse nível, a água passa a entrar no Reservatório 2, mantendo o nível do 1 fixo por certo período.
- Quando o Reservatório 2 iguala a altura ao do Reservatório 1, a água passa a subir nos dois simultaneamente.
🔹 Identificação de Frases-chave:
- “água entra no Reservatório 1”
- “ao atingir o nível do cano, passa a abastecer o Reservatório 2”
- “Reservatórios idênticos”
🔹 Tradução para Termos Matemáticos:
No gráfico h × V:
- De 0 até um valor V1, h cresce linearmente (só 1 enche).
- Depois, h fica constante enquanto o Reservatório 2 recebe água.
- Após certo ponto, h volta a subir com V, mas com inclinação menor (dois reservatórios enchendo juntos).
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
📌 Resolução Completa:
- Fase 1: Reservatório 1 enche sozinho, então h cresce de maneira linear com o volume (pois as dimensões do reservatório são constantes).
- Fase 2: Quando h atinge o cano, a água começa a entrar no Reservatório 2, mantendo h do Reservatório 1 fixo. Isso gera um trecho horizontal no gráfico (h não varia; V continua aumentando).
- Fase 3: Assim que o Reservatório 2 iguala a altura do 1, a água passa a aumentar o nível em ambos simultaneamente. Então h volta a subir com inclinação menor, pois agora o mesmo acréscimo de volume se divide em dois reservatórios iguais.
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
📌 Reescrita das Alternativas (Resumo):
A) Gráfico sempre crescente e linear.
B) Gráfico em degraus ascendentes.
C) Gráfico que sobe rápido e depois “curva” ascendendo.
D) Gráfico que sobe linear, permanece constante, e volta a subir com inclinação menor.
E) Gráfico que cresce com curvatura, sem trechos horizontais.
✅ Justificativa da Alternativa Correta (D):
Ela exibe três fases: cresce, fica constante, cresce de novo (com inclinação menor). Esse é exatamente o comportamento esperado.
❌ Análise das Alternativas Incorretas:
- (A) Não há trecho horizontal.
- (B) Há degraus mas não do tipo correto.
- (C) Indica curva e não um trecho fixo.
- (E) Também não mostra trecho fixo.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 Resumo do Raciocínio:
Primeiro, h sobe enquanto só o Reservatório 1 enche. Depois, h fica estável quando o segundo reservatório enche. Finalmente, h sobe novamente com menor inclinação. O único gráfico coerente é o da alternativa D.
🔍 Resumo Final:
A forma da curva que descreve h em função de V tem um trecho inicial crescente, seguido de um trecho horizontal, depois volta a crescer. Portanto, a resposta é Alternativa D.
