Para realizar a viagem dos sonhos, uma pessoa precisava fazer um empréstimo no valor de R$ 5000,00. Para pagar as prestações, dispõe de, no máximo, R$ 400,00 mensais. Para esse valor de empréstimo, o valor da prestação (P) é calculado em função do número de prestações (n) segundo a fórmula
Se necessário, utilize 0,005 como aproximação para log 1,013; 2,602 como aproximação para log 400; 2,525 como aproximação para log 335.
De acordo com a fórmula dada, o menor número de parcelas cujos valores não comprometem o limite definido pela pessoa é
A) 12
B) 14
C) 15
D) 16
E) 17
Resolução em texto
● Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Logaritmos, juros compostos e manipulação algébrica.
● Nível da Questão: Difícil.
● Gabarito: Alternativa D.
● Tema/Objetivo Geral (Opcional): Analisar a fórmula de cálculo de prestações de um empréstimo e encontrar o menor número de parcelas para não ultrapassar o limite mensal de pagamento.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
- 📌 Retomar o Comando da Questão
“Temos uma fórmula que define a parcela P em função do número de prestações n. O limite de pagamento mensal é R$ 400,00. Precisamos encontrar o menor número de parcelas n que mantenha P ≤ 400.” - Explicação Detalhada
A pessoa faz um empréstimo de R$ 5000 e a fórmula dada relaciona a parcela P com o número de parcelas n e a taxa de juros. Devemos usar a aproximação fornecida para logaritmos a fim de encontrar o menor n que satisfaça P ≤ 400. - Identificação de Palavras-chave
- “Empréstimo de 5000.”
- “Prestação (P) deve ser ≤ 400.”
- “Fórmula com log e taxa i = 1,3%.”
- 📌 Definição do Objetivo
Encontrar o menor n (inteiro) tal que P ≤ 400, usando a fórmula e as aproximações de log fornecidas.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
- 📌 Conceitos Matemáticos Essenciais
- Logaritmo: Se a ≥ b, podemos aplicar logaritmos para resolver equações exponenciais.
- Equação de parcela de empréstimo: No regime de juros compostos, há fórmulas específicas para o valor de cada prestação.
- Manipulação algébrica: Para isolar n, aplicamos logaritmos e utilizamos as aproximações fornecidas.
- 📌 Fórmulas e Definições
- P = [ 5000 × (1,013)ⁿ × 0,013 ] / [ (1,013)ⁿ – 1 ]
- Devemos impor P ≤ 400.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
- 📌 Análise do Contexto
Precisamos de um número inteiro de parcelas para que o valor mensal P não exceda R$ 400,00. O enunciado dá aproximações de log (1,013) e log(400), log(335) para resolver sem calculadora. - 📌 Identificação de Frases-chave
- “Menor número de parcelas.”
- “P ≤ 400.”
- “Use aproximações de log(1,013), log(400) e log(335).”
- 📌 Tradução para Termos Matemáticos
Substituir P = 400 na fórmula e resolver a inequação para n.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
- 📌 Resolução Completa
- Inequação: Impor que P ≤ 400. Então,
(5000 × (1,013)ⁿ × 0,013) / [(1,013)ⁿ – 1] ≤ 400. - Manipulação:
5000 × (1,013)ⁿ × 0,013 ≤ 400 × ((1,013)ⁿ – 1). - Distribuindo 400:
5000 × (1,013)ⁿ × 0,013 ≤ 400 × (1,013)ⁿ – 400. - Numérico:
5000 × 0,013 = 65. Então,
65 × (1,013)ⁿ ≤ 400 × (1,013)ⁿ – 400. - Isolar termos:
400 ≤ 400 × (1,013)ⁿ – 65 × (1,013)ⁿ
400 ≤ 335 × (1,013)ⁿ. - Dividir pelos 335:
400 / 335 ≤ (1,013)ⁿ. - Aplicar log (usando aproximações):
log(400 / 335) ≤ n × log(1,013).- log(400) ≈ 2,602.
- log(335) ≈ 2,525.
- log(1,013) ≈ 0,005.
- Diferença de logs:
log(400 / 335) = log(400) – log(335) ≈ 2,602 – 2,525 = 0,077 (arredondando).
(Na mini-resolução, foi 0,075, mas vamos usar 0,077 para manter coerência; ou 0,075, a diferença não é grande.) - Inequação:
0,077 ≤ n × 0,005 (caso usemos 0,075, o raciocínio é igual). - Isolar n:
n ≥ 0,077 / 0,005 = 15,4 (ou 0,075 / 0,005 = 15). - Conclusão: n deve ser inteiro e maior ou igual a 15,4, ou seja, n = 16.
- Inequação: Impor que P ≤ 400. Então,
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
- 📌 Reescrita das Alternativas
A) 12
B) 14
C) 15
D) 16
E) 17 - ✅ Justificativa da Alternativa Correta (D)
O cálculo mostra que n deve ser ao menos 15,4, logo o menor inteiro possível é 16. - ❌ Análise das Alternativas Incorretas
- A, B, C: Todas menores que 15,4, insuficientes.
- E: 17 é maior que o necessário, mas não é o “menor número” de parcelas.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
- 📌 Resumo do Raciocínio
A parcela P precisa ser ≤ 400. Ao impor isso na fórmula e usando as aproximações de log, encontramos n ≥ 15,4, de modo que n = 16 é o menor inteiro que atende. - 📌 Reafirmação da Alternativa Correta
Portanto, a resposta é 16, correspondente à alternativa D. - 🔍 Resumo Final
A quantidade mínima de parcelas que mantém a prestação abaixo de 400 reais é 16.
