Um empréstimo foi feito à taxa mensal de i%, usando juros compostos, em oito parcelas fixas e iguais a P.
O devedor tem a possibilidade de quitar a dívida antecipadamente a qualquer momento, pagando para isso o valor atual das parcelas ainda a pagar. Após pagar a 5ª parcela, resolve quitar a dívida no ato de pagar a 6ª parcela.
A expressão que corresponde ao valor total pago pela quitação do empréstimo é:
Resolução em texto
● Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Juros compostos, progressão de pagamentos e valor presente.
● Nível da Questão: Médio.
● Gabarito: Alternativa A.
● Tema/Objetivo Geral (Opcional): Entender como calcular a quitação antecipada de um empréstimo com parcelas fixas sob regime de juros compostos
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
- 📌 Retomar o Comando da Questão
“Após pagar a 5ª parcela, o devedor resolve quitar a dívida no ato de pagar a 6ª parcela. Qual a expressão para o valor total pago até esse momento?” - Explicação Detalhada
Queremos o valor total que a pessoa pagará, considerando:- Já pagou as 5 primeiras parcelas integralmente.
- No momento de pagar a 6ª parcela, além de pagá-la integralmente, também quita antecipadamente a 7ª e a 8ª parcelas.
- Para antecipar as parcelas 7 e 8, é preciso trazer esses valores ao valor presente no momento do pagamento da 6ª parcela, sob regime de juros compostos mensais de i%.
- Identificação de Palavras-chave
- Juros compostos mensais (i%).
- Parcelas iguais (P).
- Quitação antecipada.
- 📌 Definição do Objetivo
Determinar a soma das parcelas já pagas (1ª a 5ª) e o valor presente das parcelas 6, 7 e 8, com a 6ª paga integralmente e as outras duas trazidas a valor presente.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
- 📌 Conceitos Matemáticos Essenciais
- Valor Presente (VP) de uma parcela futura em regime de juros compostos:
VP = Parcela / (1 + i/100)ⁿ
onde n é o número de meses antecipados. - Parcelas Fixas: Cada parcela tem valor P.
- Valor Presente (VP) de uma parcela futura em regime de juros compostos:
- 📌 Fórmulas e Definições
- Parcelas a serem quitadas: 6ª, 7ª e 8ª.
- Valor Presente da 7ª parcela: P / (1 + i/100).
- Valor Presente da 8ª parcela: P / (1 + i/100)².
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
- 📌 Análise do Contexto
O devedor já pagou 5 parcelas. Ao chegar na data da 6ª, ele paga a 6ª parcela normalmente e antecipa as outras duas (7ª e 8ª). - 📌 Identificação de Frases-chave
- “…resolve quitar a dívida no ato de pagar a 6ª parcela.”
- “A expressão que corresponde ao valor total pago…”
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
- 📌 Resolução Completa
- Valor das 5 parcelas já pagas: 5 × P.
- Valor da 6ª parcela no momento do pagamento: P (integral).
- Valor Presente da 7ª parcela: P / (1 + i/100).
- Valor Presente da 8ª parcela: P / (1 + i/100)².
- Somando os valores da quitação no ato da 6ª:
Total pago = (5 × P) + [ P + (P / (1 + i/100)) + (P / (1 + i/100)² ) ].
- 📌 Observação
A questão foca na soma das parcelas 6, 7 e 8 (no ato do 6º pagamento). As 5 parcelas anteriores já foram pagas, mas a expressão mostrada nas alternativas concentra-se no total de quitação do saldo restante, ou seja, P + P/(1 + i/100) + P/(1 + i/100)².
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
- 📌 Reescrita das Alternativas
A) P [1 + 1/(1 + i/100) + 1/(1 + i/100)²]
B) P [1 + 1/(1 + i/100) + 2i/(1 + i/100)²]
C) P [ (1 + 1/(1 + i/100) )² + 1/(1 + i/100)² ] … e assim por diante. - ✅ Justificativa da Alternativa Correta (A)
As parcelas 6, 7 e 8, trazidas ao valor do momento da 6ª, formam:
P (6ª parcela) + P / (1 + i/100) (7ª parcela) + P / (1 + i/100)² (8ª parcela) = P [1 + 1/(1 + i/100) + 1/(1 + i/100)²]. - ❌ Análise das Alternativas Incorretas
- Em B, C, D, E, as expressões contêm somas ou termos adicionais de i que não se encaixam na lógica de trazer duas parcelas ao valor presente.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
- 📌 Resumo do Raciocínio
Para quitar o empréstimo na 6ª parcela, deve-se pagar a 6ª parcela integral e antecipar as outras duas, dividindo cada parcela pelo fator (1 + i/100) elevado ao número de meses antecipados. Isso resulta em P + P/(1 + i/100) + P/(1 + i/100)². - 📌 Reafirmação da Alternativa Correta
A expressão correta é A) P [1 + 1/(1 + i/100) + 1/(1 + i/100)²]. - 🔍 Resumo Final
Na data de pagamento da 6ª parcela, o devedor paga a 6ª integralmente e antecipa as 7ª e 8ª trazendo-as a valor presente. A soma corresponde à alternativa A.
