Raios de luz solar estão atingindo a superfície de um lago formando um ângulo X com a sua superfície, conforme indica a figura.

Em determinadas condições, pode-se supor que a intensidade luminosa desses raios, na superfície do lago, seja dada aproximadamente por I(x) = k . sen(x).

sendo k uma constante, e supondo-se que X está entre 0° e 90º.

Quando x = 30º, a intensidade luminosa se reduz a qual percentual de seu valor máximo?

A) 33%

B) 50%

C) 57%

D) 70%

E) 86%

Resolução em texto

● Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Funções trigonométricas, razão seno, porcentagem.
● Nível da Questão: Média.
● Gabarito: Alternativa B.
● Tema/Objetivo Geral (Opcional): Entender como a intensidade luminosa depende da função seno do ângulo e determinar o percentual de redução em relação ao valor máximo.

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Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo

• 📌 Retomar o Comando da Questão
  “A intensidade luminosa I(x) é dada por k × sen(x), onde x está entre 0° e 90°. Quando x = 30°, deseja-se saber o percentual da intensidade em relação ao valor máximo possível.”
• 📌 Explicação Detalhada
  O problema define I(x) = k × sen(x) e quer o percentual de I(30°) em relação à intensidade máxima. Precisamos, portanto, comparar I(30°) com o valor máximo de I(x).
• 📌 Identificação de Palavras-chave
  • “Intensidade luminosa”
  • “Função sen(x)”
  • “Percentual do valor máximo”
• 📌 Definição do Objetivo
  Encontrar quanto vale I(30°) em relação a I(90°) e expressar esse quociente em porcentagem.

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Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários

• 📌 Conceitos Matemáticos Essenciais
  1. Seno de 30°: O valor de sen(30°) é 1/2.
  2. Seno de 90°: O valor de sen(90°) é 1.
  3. Valor Máximo da Função: Como x varia de 0° a 90°, o máximo de sen(x) é 1.
  4. Cálculo de Porcentagem: Para achar o percentual de um valor em relação a outro, basta dividir e multiplicar por 100.
• 📌 Fórmulas e Definições
  • I(x) = k × sen(x).
  • Máximo de I(x) é quando x = 90°, então I(90°) = k × sen(90°) = k × 1 = k.
  • Em x = 30°, I(30°) = k × sen(30°) = k × 1/2.

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Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto

• 📌 Análise do Contexto
  O ângulo x = 30° gera uma intensidade igual a sen(30°) vezes k. Queremos a porcentagem de I(30°) em relação a I(90°).
• 📌 Identificação de Frases-chave
  • “Quando x=30°, a intensidade se reduz a que percentual?”
  • “Função I(x)=k×sen(x).”
• 📌 Tradução para Termos Matemáticos
  Precisamos do quociente I(30°)/I(90°), em porcentagem.

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Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos

• 📌 Resolução Completa
  1. Valor Máximo: Em x=90°, I(90°)=k×1=k.
  2. Valor em x=30°: I(30°)=k×sen(30°)=k×(1/2).
  3. Quociente: [I(30°)] / [I(90°)] = [k×(1/2)] / k = (1/2).
  4. Em Porcentagem: (1/2) × 100 = 50%.

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Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução

• 📌 Reescrita das Alternativas
  A) 33%
  B) 50%
  C) 57%
  D) 70%
  E) 86%
• ✅ Justificativa da Alternativa Correta (B)
  O cálculo mostra 50% do valor máximo, isto é, metade. Logo, a resposta é 50%.
• ❌ Análise das Alternativas Incorretas
  • A) 33%: Valor incorreto, menor que o real.
  • C) 57%, D) 70%, E) 86%: Todas acima de 50%, incompatíveis com sen(30°).

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Passo 6: Conclusão e Justificativa Final

• 📌 Resumo do Raciocínio
  A intensidade máxima é k. Em x=30°, a intensidade é k×1/2. Isso representa 50% do valor máximo.
• 📌 Reafirmação da Alternativa Correta
  A resposta é 50%, correspondente à alternativa B.
• 🔍 Resumo Final
  A intensidade em x=30° equivale a metade do valor máximo da função sen(x), resultando em 50%.