Um quebra-cabeça consiste em recobrir um quadrado com triângulos retângulos isósceles, como ilustra a figura.
Uma artesã confecciona um quebra-cabeça como o descrito, de tal modo que a menor das peças é um
triângulo retângulo isósceles cujos catetos medem 2 cm.
O quebra-cabeça, quando montado, resultará em um quadrado cuja medida do lado, em centímetro, é
A) 14
B) 12
C) 7√2
D) 6 + 4 √2
E) 6 + 2 √2
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Geometria Plana (Teorema de Pitágoras e Triângulos Retângulos Isósceles), Sequências Numéricas (Progressão Geométrica).
Tema/Objetivo Geral
Identificação de padrões geométricos recursivos (fractais/espirais) e cálculo de comprimentos.
Nível da Questão: Médio.
- O aluno precisa dominar a relação entre catetos e hipotenusa (×2×2) e ter a visão espacial para perceber que o lado do quadrado é a soma de segmentos alternados da sequência.
Gabarito: Alternativa A.
- O lado do quadrado mede 14 cm.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
Temos um quadrado preenchido por triângulos que crescem em espiral. Começamos pelo menorzinho (canto inferior direito) e vamos crescendo. A regra do jogo é que a hipotenusa de um vira o cateto do próximo. Precisamos descobrir o tamanho total do lado do quadrado grande somando as peças certas.
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine uma escada em caracol vista de cima, mas feita de triângulos.
- Degrau 1: Tamanho 2.
- Degrau 2: Cresce um pouco.
- Degrau 3: Cresce mais.
A borda lateral do quadrado é formada empilhando a altura do degrau 1, do degrau 3 e do degrau 5. Precisamos calcular o tamanho desses degraus e somar.
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Entender a Regra de Crescimento: Como o tamanho passa de um triângulo para o próximo?
- Calcular a Sequência: Descobrir o tamanho dos catetos dos 5 primeiros triângulos.
- Montar o Quebra-Cabeça: Identificar quais desses triângulos formam a parede lateral do quadrado e somá-los.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Formato: Diálogo Mentor-Aluno (Investigação Conceitual)
Mentor: Vamos analisar a peça fundamental deste quebra-cabeça. O enunciado diz que é um triângulo retângulo isósceles. O que isso significa para os lados dele?
Aluno: Significa que ele tem um ângulo de 90 graus e que os dois catetos têm o mesmo tamanho.
Mentor: Exato. E se eu te der o tamanho do cateto, como você descobre a hipotenusa sem fazer muita conta?
Aluno: Eu uso Pitágoras. A ao quadrado mais B ao quadrado…
Mentor: Sim, mas existe um atalho para triângulos isósceles. Pense em um quadrado cortado ao meio pela diagonal. A hipotenusa é a diagonal do quadrado. Qual é a fórmula da diagonal?
Aluno: Lado vezes raiz de 2.
Mentor: Perfeito. Então, a regra de ouro aqui é: Hipotenusa é igual ao Cateto multiplicado por raiz de 2. Agora olhe para a figura. Como um triângulo se conecta ao próximo?
Aluno: Parece que a hipotenusa do triângulo pequeno serve de parede para começar o triângulo maior.
Mentor: Isso mesmo. A hipotenusa do triângulo 1 vira o cateto do triângulo 2. E a hipotenusa do 2 vira o cateto do 3. É uma reação em cadeia.
Aluno: Então eu tenho que calcular essa sequência.
Mentor: Sim. E tem um detalhe visual importante. A cada passo, o triângulo gira 90 graus. O primeiro cresce na vertical, o segundo na horizontal, o terceiro na vertical de novo… Para achar o lado do quadrado grande, precisamos somar apenas os que crescem na vertical. Quais seriam eles na sequência?
Aluno: Os ímpares? O primeiro, o terceiro e o quinto?
Mentor: Exatamente. Vamos calcular a sequência e somar apenas os termos ímpares.
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos calcular a evolução dos triângulos.
Regra: Cateto do próximo = Hipotenusa do anterior (Cateto×2Cateto×2).
1. A Sequência de Crescimento:
- Triângulo 1 (Menor, Preto):
- Cateto = 2. (Dado no enunciado).
- Posição: Vertical (contribui para a altura).
- Hipotenusa =
2222.
- Triângulo 2 (Cinza Claro):
- Cateto = Hipotenusa do anterior =
2222. - Posição: Horizontal (não soma na altura).
- Hipotenusa =
(22)×2=2×2=4(22)×2=2×2=4.
- Cateto = Hipotenusa do anterior =
- Triângulo 3 (Cinza Escuro):
- Cateto = Hipotenusa do anterior = 4.
- Posição: Vertical (contribui para a altura).
- Hipotenusa =
4242.
- Triângulo 4 (Cinza Claro):
- Cateto = Hipotenusa do anterior =
4242. - Posição: Horizontal.
- Hipotenusa =
(42)×2=4×2=8(42)×2=4×2=8.
- Cateto = Hipotenusa do anterior =
- Triângulo 5 (Maior, Cinza Escuro):
- Cateto = Hipotenusa do anterior = 8.
- Posição: Vertical (contribui para a altura).
2. A Montagem Final (O Lado do Quadrado):
Olhando para a lateral direita do quadrado grande, vemos que ela é formada pelo empilhamento dos catetos verticais dos triângulos ímpares (os que “sobem”).
Lado do Quadrado = Cateto(T1) + Cateto(T3) + Cateto(T5)
Lado = 2 + 4 + 8
Lado = 14 cm
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
Muitos alunos tentam somar o último triângulo com o penúltimo (8+428+42), achando que eles formam o lado completo. Isso daria uma resposta com raiz (opção D ou E). O erro é não perceber a espiral: o lado do quadrado é formado pela sobreposição de três triângulos (Pequeno, Médio e Grande) alinhados verticalmente.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
Síntese do raciocínio: Identificamos uma PG de razão 22
para os catetos. Selecionamos os termos alternados (que formam uma PG de razão 2) e somamos os valores inteiros.
Expectativa: Um número inteiro, resultado da soma 2+4+82+4+8.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
(A) 14.
Análise de Correspondência: Perfeito. É a soma dos catetos verticais (2+4+82+4+8).
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
(B) 12.
O Diagnóstico do Erro: O aluno pode ter errado a sequência, calculando talvez 2,4,62,4,6(progressão aritmética) em vez de geométrica, ou esquecido de somar o menor triângulo (apenas 4+84+8).
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
(C) 7√2.
O Diagnóstico do Erro: O aluno somou os catetos com raiz (22+…22+…) ou tentou calcular a diagonal do quadrado em vez do lado.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
(D) 6 + 4√2.
O Diagnóstico do Erro: O aluno somou um cateto inteiro com um cateto com raiz (ex: T3 + T4), ignorando a geometria da montagem.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
(E) 6 + 2√2.
O Diagnóstico do Erro: Soma aleatória de segmentos que não compõem o lado total.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento:
Em espirais de triângulos retângulos isósceles, a cada dois passos a medida do cateto dobra e volta a ser um número inteiro (se começou inteira).
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“Um passo multiplica por raiz de dois, dois passos multiplicam por 2.”
Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Esta figura é parente próxima da Espiral de Teodoro (ou Espiral da Raiz Quadrada), usada para desenhar geometricamente raízes de números inteiros (2,3,4…2,3,4…). Na natureza, esse tipo de crescimento proporcional gera a estrutura de conchas como a do Nautilus (Espiral Logarítmica).
