Durante uma festa de colégio, um grupo de alunos organizou uma rifa. Oitenta alunos faltaram à festa e não
participaram da rifa. Entre os que compareceram, alguns compraram três bilhetes, 45 compraram 2 bilhetes, e
muitos compraram apenas um. O total de alunos que comprou um único bilhete era 20% do número total de
bilhetes vendidos, e o total de bilhetes vendidos excedeu em 33 o número total de alunos do colégio.
Quantos alunos compraram somente um bilhete?
A) 34
B) 42
C) 47
D) 48
E) 79
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Sistemas de Equações
- Porcentagem
- Resolução Algébrica
🎯 Nível da Questão: Médio
✅ Gabarito: Letra D.
📖 Resolução Passo a Passo
🔹 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
A questão trata da venda de bilhetes de uma rifa em uma festa escolar. Precisamos determinar quantos alunos compraram apenas um bilhete.
Sabemos que:
- 80 alunos não compareceram.
- 45 alunos compraram 2 bilhetes.
- Alguns alunos compraram 3 bilhetes. Chamaremos essa quantidade de x.
- Outros alunos compraram 1 bilhete. Chamaremos essa quantidade de y.
- O total de bilhetes vendidos é 33 a mais que o número total de alunos da escola.
- O total de bilhetes vendidos tem 20% correspondentes aos alunos que compraram apenas 1 bilhete.
Nosso objetivo é encontrar o valor de y, ou seja, quantos alunos compraram somente um bilhete.
🔹 Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
A questão exige um entendimento sobre:
- Sistema de equações: Temos duas equações que envolvem os alunos e os bilhetes vendidos.
- Porcentagem: A relação de 20% entre os bilhetes vendidos e os alunos que compraram apenas um bilhete.
- Expressões algébricas: Precisamos transformar as informações dadas no problema em equações matemáticas.
🔹 Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
Transformamos as informações da questão em equações:
- O total de bilhetes vendidos é dado por: 3x+2(45) + y
- O número total de alunos da escola é: x+45+y+80
- O número de bilhetes vendidos excede em 33 o total de alunos: x+45+y+80+33=3x+90+y
- Como o número de bilhetes vendidos tem 20% referentes aos alunos que compraram 1 bilhete:
y=0,2(3x+90+y)
Agora, resolvemos essas equações para encontrar y.
🔹 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
Resolvendo a equação do total de bilhetes e alunos:
x+45+y+80+33=3x+90+y
x+158+y=3x+90+y
Cancelamos y dos dois lados: x+158=3x+90
2x=68
x = 34
Substituindo em 4y=3x+90:
4y=3(34)+90
4y=102+90
4y=192
y= 48
Portanto, 48 alunos compraram apenas 1 bilhete.
🔹 Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
🔹 Alternativa A) 34 ❌ ERRADA
🔹 Alternativa B) 42 ❌ ERRADA
🔹 Alternativa C) 47 ❌ ERRADA
🔹 Alternativa D) 48 ✅ CORRETA
🔹 Alternativa E) 79 ❌ ERRADA
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
O problema envolvia criar equações a partir dos dados apresentados. Ao montar corretamente as expressões matemáticas, encontramos que 48 alunos compraram apenas 1 bilhete.
