Durante uma festa de colégio, um grupo de alunos organizou uma rifa. Oitenta alunos faltaram à festa e não
participaram da rifa. Entre os que compareceram, alguns compraram três bilhetes, 45 compraram 2 bilhetes, e
muitos compraram apenas um. O total de alunos que comprou um único bilhete era 20% do número total de
bilhetes vendidos, e o total de bilhetes vendidos excedeu em 33 o número total de alunos do colégio.
Quantos alunos compraram somente um bilhete?
A) 34
B) 42
C) 47
D) 48
E) 79
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Sistemas de Equações de 1º Grau, Porcentagem, Modelagem Algébrica.
Tema/Objetivo Geral
Resolução de problemas de contagem e equacionamento algébrico.
Nível da Questão: Médio.
- A questão exige a montagem de duas equações distintas baseadas em um texto denso. O aluno precisa organizar múltiplos grupos de pessoas e relacionar “quantidade de pessoas” com “quantidade de bilhetes”. A complexidade está na organização dos dados, não no cálculo em si.
Gabarito: Alternativa D.
- Foram 48 alunos que compraram apenas um bilhete.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
Precisamos descobrir o tamanho de um grupo específico de alunos: aqueles que compraram apenas 1 bilhete (vamos chamar esse número de Y). O problema nos dá pistas misturando número de pessoas com número de bilhetes vendidos.
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine que estamos organizando uma planilha de vendas. Temos 4 tipos de “clientes”:
- Os que não vieram (compraram 0).
- Os econômicos (compraram 1).
- Os moderados (compraram 2).
- Os empolgados (compraram 3).
O problema nos dá o saldo final de vendas e uma regra de porcentagem. Temos que usar isso para preencher a célula que falta na planilha (os econômicos).
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Montar o Dossiê: Organizar quem é quem e quantos bilhetes cada grupo comprou.
- Equação do Excedente: Usar a informação de que “bilhetes excedem alunos em 33” para descobrir o número de alunos empolgados.
- Equação da Porcentagem: Usar a regra dos 20% para descobrir o nosso alvo final (Y).
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Formato: Diálogo Mentor-Aluno (Investigação Conceitual)
Mentor: Vamos organizar a bagunça deste enunciado. Qual é o erro mais comum que os alunos cometem ao ler um problema como este?
Aluno: Acho que é misturar o número de alunos com o número de bilhetes vendidos. Parece tudo a mesma coisa na hora de somar.
Mentor: Exato. São duas contagens diferentes acontecendo ao mesmo tempo. Para não errar, vamos imaginar que cada aluno é uma caixa fechada. O que tem dentro da caixa?
Aluno: Os bilhetes. Alguns alunos têm 1 bilhete na caixa, outros têm 2, outros têm 3. E tem gente sem caixa nenhuma, os que faltaram.
Mentor: Perfeito. Então, quando somamos “Alunos”, estamos contando as caixas. Quando somamos “Bilhetes”, estamos contando o conteúdo de dentro das caixas. Se eu tenho um grupo X de alunos “empolgados” que compraram 3 bilhetes cada, como represento isso nas duas contagens?
Aluno: Na contagem de alunos, eu somo apenas X. Na contagem de bilhetes, eu somo 3 vezes X, porque cada um contribui com três unidades.
Mentor: Brilhante. E é essa distinção que vai montar nossas equações. Você vai precisar escrever uma expressão matemática para contar as caixas (Alunos) e outra expressão separada para contar o conteúdo (Bilhetes). O segredo é nunca misturar as duas linhas de raciocínio até o momento de igualá-las.
Aluno: Entendi. E tem a questão da porcentagem também.
Mentor: Sim. Quando o problema diz “20% do total”, ele está falando do conteúdo (bilhetes) ou das caixas (alunos)?
Aluno: O texto diz “20% do número total de bilhetes”. Então é sobre o conteúdo.
Mentor: Isso. Então, 20% de (Tudo o que foi vendido) é igual ao número de pessoas do grupo econômico. Essa será nossa segunda ferramenta para fechar o problema.
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos usar as pistas discutidas para resolver o mistério.
1. Usando a Pista A (Bilhetes vs Alunos):
A questão diz que o número de bilhetes é igual ao número de alunos mais 33. Vamos escrever isso matematicamente.
- Total de Alunos: 80 (ausentes) + X (empolgados) + 45 (moderados) + Y (econômicos).
- Total de Bilhetes: 0(80) + 3(X) + 2(45) + 1(Y).
Montando a equação:
Bilhetes = Alunos + 33
(3X + 90 + Y) = (X + 45 + Y + 80) + 33
Agora, vamos arrumar a bagunça.
Do lado esquerdo: 3X + 90 + Y
Do lado direito (somando os números): X + Y + 125 + 33 -> X + Y + 158
Igualdade:
3X + 90 + Y = X + 158 + Y
Perceba algo mágico aqui: temos “+ Y” dos dois lados da balança. Podemos cortá-lo! Isso facilita tudo, pois o Y desaparece temporariamente.
3X + 90 = X + 158
3X – X = 158 – 90
2X = 68
X = 34
Descoberta: Existem 34 alunos no grupo dos “empolgados” (que compraram 3 bilhetes).
2. Preparando a Pista B:
Agora que sabemos que X = 34, vamos calcular o valor real do Total de Bilhetes em função de Y.
Volte à fórmula dos Bilhetes:
Total Bilhetes = 3X + 90 + Y
Substituindo X por 34:
Total Bilhetes = 3(34) + 90 + Y
Total Bilhetes = 102 + 90 + Y
Total Bilhetes = 192 + Y
3. Usando a Pista B (A Porcentagem):
A questão diz que os alunos que compraram 1 bilhete (Y) representam 20% do total de bilhetes.
Dica de Ouro: 20% é a mesma coisa que 1/5. Se Y é 1/5 do total, então o Total é 5 vezes Y.
Total Bilhetes = 5 * Y
Agora igualamos as duas conclusões sobre o Total de Bilhetes:
5Y = 192 + Y
5Y – Y = 192
4Y = 192
Y = 192 / 4
Y = 48
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
O erro mais comum aqui é esquecer de incluir os “80 alunos que faltaram” na soma do Total de Alunos. Se você esquecê-los na primeira equação, o valor de X sairá errado e estragará todo o resto. Outro erro é tentar calcular 20% de uma incógnita e se perder nas casas decimais (0,2Y). Usar a fração (dizer que o total é 5Y) é muito mais seguro e rápido.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
Síntese do raciocínio: Usamos a comparação de totais para eliminar o Y e descobrir o X. Com o X em mãos, definimos o total de bilhetes e usamos a proporção de 20% para finalmente achar o Y.
Expectativa: O número de alunos que compraram 1 bilhete é 48.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
(A) 34.
O Diagnóstico do Erro: Este é o valor de X (alunos que compraram 3 bilhetes). O aluno resolveu a primeira parte do problema corretamente, ficou feliz por achar um número que estava nas alternativas e marcou sem ler o que a pergunta pedia (que era o valor de Y).
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
(B) 42.
O Diagnóstico do Erro: Provável erro de aritmética na subtração (158 – 90) ou na divisão final. Não tem base lógica direta nos dados.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
(C) 47.
O Diagnóstico do Erro: Erro de aproximação ou cálculo. Muito próximo da resposta correta, costuma pegar quem erra a conta de divisão 192/4 por pressa.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
(D) 48.
Análise de Correspondência: Perfeito. Corresponde ao valor de Y calculado após a resolução do sistema de equações.
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
(E) 79.
O Diagnóstico do Erro: Pode surgir de uma confusão somando o número de alunos moderados (45) com o X (34), totalizando 79. O aluno calculou “quantos compraram mais de 1 bilhete”.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento:
Em problemas com muitas variáveis, o segredo é escrever expressões separadas para “quantidade de itens” e “quantidade de pessoas”, procurando o termo que pode ser cancelado na igualdade.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“Na balança da álgebra, se tem Y dos dois lados, corte o peso extra antes de fazer a conta.”
Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Este tipo de problema é a base da Contabilidade de Custos. Imagine uma fábrica que produz peças A, B e C. Se você sabe o custo total e a proporção de vendas, mas desconhece a quantidade exata de uma peça vendida, você usa exatamente esse sistema linear para descobrir o “furo” no estoque.
