Para decorar um cilindro circular reto será usada uma faixa retangular de papel transparente, na qual está
desenhada em negrito uma diagonal que forma 30° com a borda inferior. O raio da base do cilindro mede
6/π cm, e ao enrolar a faixa obtém-se uma linha em formato de hélice, como na figura.
O valor da medida da altura do cilindro, em centímetro, é
A) 36√3
B) 24√3
C) 4√3
D) 36
E) 72
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Geometria Espacial (Planificação do Cilindro), Geometria Plana (Círculo), Trigonometria no Triângulo Retângulo.
Tema/Objetivo Geral
Cálculo de medidas lineares em sólidos através da planificação de superfícies e relações trigonométricas.
Nível da Questão: Médio.
- O aluno precisa dominar três competências distintas: calcular o perímetro da base (fácil), aplicar a tangente de 30º (médio) e, o mais difícil, ter a percepção visual de contar as voltas da hélice no desenho para finalizar a conta.
Gabarito: Alternativa B.
- A altura total é de 24 raiz(3) cm, resultado da altura de uma volta multiplicada por 6 repetições.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
Queremos descobrir a altura total de um cilindro. Temos pistas sobre o raio da base e sobre uma linha diagonal desenhada no papel que cobre esse cilindro. Essa linha, quando o papel está enrolado, forma uma espiral (hélice) que sobe pelo cilindro.
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine o rótulo de uma lata de leite condensado. Se você desenhar uma linha diagonal nesse rótulo e colá-lo na lata, a linha vira uma espiral. Se a gente “descolar” o rótulo e esticá-lo na mesa, a espiral vira uma linha reta (diagonal de um retângulo). O problema é resolver um triângulo retângulo desenhado nesse papel esticado.
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- A Planificação: Entender o que acontece quando “desenrolamos” uma volta da hélice.
- A Base: Calcular o comprimento da circunferência do cilindro (que será a base do nosso triângulo).
- O Degrau: Calcular quanto a hélice sobe a cada volta completa (usando trigonometria).
- A Escada Toda: Contar quantas voltas a hélice dá no desenho e multiplicar pela altura de uma volta.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Conceito Principal:
Para resolver problemas de sólidos com linhas desenhadas na superfície, o segredo é “abrir” o sólido (planificação). Vamos organizar as ferramentas geométricas nesta tabela:
TABELA TÁTICA: GEOMETRIA DO CILINDRO
| CONCEITO | DEFINIÇÃO MATEMÁTICA | APLICAÇÃO NESTE PROBLEMA |
| Planificação Lateral | Ao abrir a lateral de um cilindro, obtemos um Retângulo. | A base do retângulo é a circunferência da base do cilindro. A altura do retângulo é a altura do cilindro. |
| Hélice Planificada | Uma volta completa da espiral no cilindro vira uma diagonal reta no plano. | A hélice forma a hipotenusa de um triângulo retângulo. O ângulo de 30 graus é a inclinação dessa rampa. |
| Comprimento da Base | Fórmula: C = 2 * pi * r | Usaremos o raio dado (6/pi) para achar a base do triângulo. O “pi” vai cortar, facilitando a conta. |
| Tangente (Trigonometria) | tan(30) = Oposto / Adjacente | Oposto = Altura de uma volta (h). Adjacente = Base (12). Tangente de 30 vale raiz(3) / 3. |
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos executar os cálculos seguindo a lógica da tabela.
1. O Tamanho da Base (A Circunferência):
O raio (r) é dado como 6 / pi.
A fórmula da circunferência é C = 2 * pi * r.
Substituindo o valor do raio:
C = 2 * pi * (6 / pi)
Podemos cortar o “pi” de cima com o “pi” de baixo.
C = 2 * 6
C = 12 cm.
Isso significa que, a cada volta, a hélice percorre 12 cm na horizontal (se abrirmos o papel).
2. A Altura de Uma Volta (O Degrau):
Agora olhamos para o triângulo retângulo formado no papel aberto:
- Base (cateto adjacente) = 12.
- Altura de uma volta (h) = cateto oposto (é o que queremos achar).
- Ângulo = 30 graus.
Aplicando a Tangente:
tan(30) = h / 12
Sabemos que tan(30) vale raiz(3) / 3.
raiz(3) / 3 = h / 12
Multiplicando cruzado:
3 * h = 12 * raiz(3)
h = (12 * raiz(3)) / 3
Dividindo 12 por 3, temos 4.
h = 4 raiz(3) cm.
Essa é a altura que a hélice sobe a cada volta completa.
3. A Altura Total (Contando as Voltas):
Olhe atentamente para o cilindro da direita na imagem da questão. Conte os intervalos verticais formados pela linha escura (a hélice).
Você verá que existem exatamente 6 voltas completas (6 faixas inclinadas empilhadas).
Altura Total (H) = Número de Voltas * Altura de uma volta
H = 6 * 4 raiz(3)
H = 24 raiz(3) cm.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
O erro fatal aqui é parar no cálculo de 4 raiz(3) (Alternativa C). O aluno faz toda a matemática correta, acha a altura do triângulo desenhado na figura da esquerda, mas esquece de olhar para a figura da direita, que mostra o cilindro completo com 6 voltas. A figura da esquerda mostra apenas o “módulo” de uma volta sendo enrolado.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
Síntese do raciocínio: Calculamos o perímetro da base (12), usamos a tangente de 30 graus para achar a altura unitária (4 raiz de 3) e multiplicamos pelo número visual de voltas (6).
Expectativa: 24 raiz(3).
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
(A) 36 raiz(3).
O Diagnóstico do Erro: O aluno pode ter errado a conta da tangente (invertendo valores) ou contado errado o número de voltas (talvez imaginando 9 voltas?).
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
(B) 24 raiz(3).
Análise de Correspondência: Perfeito. Corresponde a 6 vezes a altura unitária de 4 raiz(3).
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
(C) 4 raiz(3).
O Diagnóstico do Erro: O erro da “Visão Parcial”. O aluno calculou corretamente a altura de uma única volta da hélice, mas esqueceu que o cilindro é composto por 6 voltas.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
(D) 36.
O Diagnóstico do Erro: O aluno calculou o perímetro (12) e multiplicou por 3, ou fez alguma confusão eliminando a raiz quadrada incorretamente.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
(E) 72.
O Diagnóstico do Erro: Possível erro grosseiro de cálculo, talvez multiplicando 12 (perímetro) por 6 (voltas) diretamente, ignorando a inclinação de 30 graus e a tangente.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento:
A hélice cilíndrica nada mais é do que a hipotenusa de um triângulo retângulo enrolada; sua altura total é a soma das alturas de cada volta individual.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“Descasque o cilindro como uma banana: a espiral vira uma rampa reta. Calcule a altura da rampa e multiplique pelas voltas.”
Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Este conceito é a base da Engenharia Mecânica para a construção de Parafusos e Roscas. A “rosca” de um parafuso é exatamente essa hélice. A distância entre duas voltas consecutivas é chamada de “passo da rosca” (o nosso h = 4 raiz de 3). Se você sabe o passo e quantas voltas você girou a chave de fenda, você sabe exatamente o quanto o parafuso entrou na madeira (Altura Total).
