O gerente do setor de recursos humanos de uma empresa está organizando uma avaliação em que uma
das etapas é um jogo de perguntas e respostas. Para essa etapa, ele classificou as perguntas, pelo nível de
dificuldade, em fácil, médio e difícil, e escreveu cada pergunta em cartões para colocação em uma urna.
Contudo, após depositar vinte perguntas de diferentes níveis na urna, ele observou que 25% delas eram de nível
fácil. Querendo que as perguntas de nível fácil sejam a maioria, o gerente decidiu acrescentar mais perguntas
de nível fácil à urna, de modo que a probabilidade de o primeiro participante retirar, aleatoriamente, uma pergunta de nível fácil seja de 75%.
Com essas informações, a quantidade de perguntas de nível fácil que o gerente deve acrescentar à urna é igual a
A) 10.
B) 15.
C) 35.
D) 40.
E) 45.
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Probabilidade, Porcentagem, Equações de 1º Grau.
Tema/Objetivo Geral
Cálculo de probabilidade com alteração do espaço amostral (alteração do total).
Nível da Questão: Médio.
- Embora o cálculo seja simples, o nível é médio porque exige a modelagem de uma equação onde a variável (X) aparece tanto no numerador (parte) quanto no denominador (todo). O aluno que esquece de alterar o “todo” cai na armadilha fatal.
Gabarito: Alternativa D.
- A quantidade exata a ser adicionada é 40.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
O gerente quer transformar a urna. Hoje, ela tem poucas perguntas fáceis (25%). Ele quer despejar mais perguntas fáceis lá dentro até que elas dominem o cenário, chegando a 75% do total. A missão é descobrir o número exato de perguntas que devem ser inseridas.
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Pense nisso como preparar um suco. O suco está fraco (pouca polpa, 25%). Você quer deixá-lo forte (muita polpa, 75%). Para isso, você vai adicionar mais polpa. O segredo é perceber que, ao jogar mais polpa no copo, o volume total do suco também aumenta. Você não muda apenas a parte, você muda o todo.
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Diagnóstico Inicial: Calcular quantas perguntas fáceis já existem hoje.
- Modelagem do Futuro: Montar a fração da probabilidade considerando que o número total de perguntas vai crescer.
- Execução da Equação: Resolver a igualdade para achar o número de perguntas adicionadas.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Conceito Principal:
A ferramenta central é a definição de Probabilidade, que é uma razão (uma divisão):
Probabilidade = O que eu quero (Casos Favoráveis) / Tudo o que tenho (Total de Casos)
O Fenômeno do “Alvo Móvel”:
Nesta questão, tanto a parte de cima quanto a parte de baixo da fração vão mudar.
- Se eu adiciono X perguntas fáceis, o número de fáceis aumenta em X.
- Consequentemente, o número total de perguntas na urna também aumenta em X.
Essa é a chave para não errar. A estrutura da nossa equação será:
(Fáceis Iniciais + X) / (Total Inicial + X) = Nova Porcentagem
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos aplicar os números do enunciado na nossa ferramenta.
1. O Diagnóstico Inicial (Cenário Atual):
Total de perguntas na urna: 20.
Porcentagem de fáceis: 25%.
Vamos converter isso em números reais:
25% de 20 = 0,25 * 20 = 5 perguntas fáceis.
Então, hoje temos 5 fáceis e 15 de outros níveis.
2. A Transformação (Cenário Futuro):
O gerente vai adicionar X perguntas fáceis.
- Novas Fáceis: 5 + X
- Novo Total: 20 + X (Nunca esqueça de somar o X aqui embaixo!)
3. A Equação Mestra:
Ele quer que a nova probabilidade seja 75%. Para facilitar a matemática e fugir de números decimais chatos, lembre-se que 75% é a mesma coisa que a fração 3/4.
Montando a igualdade:
(5 + X) / (20 + X) = 3 / 4
4. O Cálculo:
Agora aplicamos a multiplicação cruzada (“cruz-credo”):
4 * (5 + X) = 3 * (20 + X)
Distribuindo (regra do chuveirinho):
20 + 4X = 60 + 3X
Agora, organizamos a casa. Letras para um lado, números para o outro:
4X – 3X = 60 – 20
X = 40
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
O erro mais comum aqui é o aluno calcular 75% de 20 (que dá 15), subtrair as 5 que já existem e responder “10” (Alternativa A). Esse raciocínio está errado porque ignora que, ao colocar mais cartões na urna, o total deixa de ser 20. O 75% deve ser calculado sobre o novo total, que ainda desconhecemos.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
Síntese do raciocínio: Estabelecemos a relação entre o aumento das perguntas favoráveis e o aumento do total, igualando essa razão à fração 3/4.
Expectativa: O número deve ser relativamente alto, pois precisamos “afogar” as perguntas difíceis antigas para que as fáceis se tornem a vasta maioria.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
Vamos analisar cada opção para confirmar a vitória.
(A) 10.
O Diagnóstico do Erro: Esta é a pegadinha para quem ignora o aumento do total. O aluno pensa: “75% de 20 é 15. Já tenho 5, faltam 10”. Erro de conceito estático em um problema dinâmico.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
(B) 15.
O Diagnóstico do Erro: O aluno pode ter calculado apenas os 75% do total original (15) e achado que essa era a resposta direta, ignorando as perguntas pré-existentes e a mudança do total.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
(C) 35.
O Diagnóstico do Erro: Um valor intermediário que não satisfaz a equação matemática. Se adicionarmos 35, teremos 40 fáceis num total de 55. A divisão 40 / 55 dá aproximadamente 72%, próximo, mas não exato.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
(D) 40.
Análise de Correspondência: Vamos provar. Se adicionarmos 40 perguntas fáceis:
Fáceis vão para: 5 + 40 = 45.
Total vai para: 20 + 40 = 60.
A divisão 45 / 60, simplificando por 15, é exatamente 3/4, ou seja, 75%.
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
(E) 45.
O Diagnóstico do Erro: Outro distrator numérico. Se adicionarmos 45, a proporção passaria dos 75% desejados.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento:
Para elevar a probabilidade para 75%, é necessário injetar 40 novas perguntas fáceis, alterando drasticamente a composição da urna.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“Na probabilidade, quando você adiciona o que deseja, lembre-se: o numerador cresce, mas o denominador cresce junto.”
Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Este problema é idêntico ao cálculo de Concentração de Soluções em Química. Se você tem uma solução salina a 25% e quer aumentá-la para 75% adicionando sal puro, você usa exatamente a mesma equação matemática. O sal adicionado aumenta a massa do soluto (numerador) e a massa total da solução (denominador).
