Um contrato de empréstimo prevê que quando uma parcela é paga de forma antecipada, conceder-se-á uma redução de juros de acordo com o período de antecipação. Nesse caso, paga-se o valor presente, que é o valor, naquele momento, de uma quantia que deveria ser paga em uma data futura. Um valor presente P submetido a juros compostos com taxa i, por um período de tempo n, produz um valor futuro V determinado pela fórmula:
V = P × (1 + i)ⁿ
Em um contrato de empréstimo com sessenta parcelas fixas mensais, de R$820,00, a uma taxa de juros de 1,32% ao mês, junto com a trigésima parcela será paga antecipadamente uma outra parcela, desde que o desconto seja superior a 25% do valor da parcela.
Utilize 0,2877 como aproximação para In(4/3) e 0,0131 como aproximação para In(1,0132).
A primeira das parcelas que poderá ser antecipada junto com a 30ª é a
a) 56ª
b) 55ª
c) 52ª
d) 51ª
e) 45ª
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Matemática Financeira: Valor do Dinheiro no Tempo (Valor Presente vs. Valor Futuro), Desconto Racional Composto.
- Álgebra: Inequações Exponenciais e propriedades das desigualdades.
- Logaritmos: Uso de logaritmos para linearizar expoentes (Propriedade da Potência).
Tema/Objetivo Geral
Determinar o intervalo de tempo necessário para que a desvalorização de uma quantia (desconto) atinja um percentual específico, utilizando ferramentas de logaritmos para resolver a incógnita temporal.
Nível da Questão: Difícil.
- Exige a modelagem de uma inequação a partir de um texto financeiro, manipulação algébrica de frações (inversão de base), uso de logaritmos e a interpretação final de somar o intervalo de tempo encontrado à data atual.
Gabarito: Alternativa C.
- A resolução da inequação aponta que são necessários pouco mais de 21 meses de antecipação. Como as parcelas são mensais, arredonda-se para 22 meses. Somando-se à parcela atual (30ª), encontramos a 52ª parcela.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
A questão apresenta um cenário de empréstimo bancário. Você está no mês 30 e vai pagar a parcela deste mês. O banco oferece a possibilidade de pagar também uma parcela lá do futuro (“furar a fila”), mas impõe uma condição: você só deve fazer isso se o desconto obtido for maior que 25% do valor da parcela.
O objetivo é calcular qual é o número da primeira parcela futura que atende a essa condição de desconto.
Simplificando: O dinheiro viaja do futuro para o presente e encolhe. Quanto tempo ele precisa viajar para encolher mais de 25%?
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Modelar a inequação que representa “Desconto maior que 25%”.
- Manipular a fórmula de Juros Compostos dada para isolar o fator tempo (n).
- Aplicar logaritmos para descobrir o valor exato de n.
- Somar esse tempo n ao mês atual (30) para localizar a parcela no calendário.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para resolver este problema, precisamos dominar três conceitos fundamentais que funcionam como engrenagens.
1. A Lógica do “Valor Presente” (A Máquina de Encolher Dinheiro)
Dinheiro tem valor no tempo. R$ 1.000,00 daqui a 5 anos valem muito menos hoje.
- Valor Futuro (V): É o valor impresso no boleto (R$ 820,00). É quanto a dívida vale lá na frente.
- Valor Presente (P): É quanto eu pago hoje para quitar essa dívida futura.
- A Relação: Para trazer o dinheiro do futuro para o presente, nós o dividimos pelos juros acumulados.
P = V / (1 + i)^n
(Onde “n” é a quantidade de meses que o dinheiro viajou para trás e “^” indica elevado à potência).
2. A Tradução do Desconto (A Inequação)
O enunciado diz: “o desconto deve ser superior a 25%”. Isso é perigoso se não traduzirmos corretamente.
- Se o desconto é a parte que eu não pago (25%), então o Valor Presente (P) é a parte que eu pago.
- Se o desconto é 25%, eu pago 75%.
- Se o desconto tem que ser maior que 25%, o valor que eu pago tem que ser menor que 75%.
Fórmula Mental: P < 0,75 . V
3. O Martelo dos Logaritmos (A Regra do Tombo)
Em matemática financeira, quando queremos descobrir o tempo (n), a variável está presa no expoente (“no andar de cima”). A álgebra comum (+, -, *, /) não alcança o expoente. A única ferramenta capaz de “derrubar” o expoente para o “andar de baixo” é o logaritmo.
- Propriedade Fundamental: ln(A^n) = n . ln(A).
(Ao aplicar ‘ln’, o expoente ‘n’ desce e vira uma multiplicação. Isso permite isolar o ‘n’).
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos construir a solução matemática com rigor, passo a passo.
Fase 1: Montagem da Inequação
Queremos que o Valor Presente (P) seja menor que 75% do Valor Futuro (V).
P < 0,75 . V
Substituímos P pela fórmula do Valor Presente que deduzimos no Passo 2:
V / (1 + i)^n < 0,75 . V
Note que temos V (R$ 820,00) multiplicando dos dois lados. Podemos simplificar cortando o V. Isso prova que o valor da parcela não importa, apenas a taxa e o tempo.
1 / (1 + i)^n < 0,75
Fase 2: Substituição e Ajuste Algébrico
Sabemos que a taxa i = 1,32% = 0,0132. Logo, o fator é 1,0132.
Sabemos que 0,75 é igual à fração 3/4.
1 / (1,0132)^n < 3/4
Aqui precisamos de atenção total. Vamos inverter as duas frações para que o termo (1,0132)^n fique no numerador (em cima).
Regra de Ouro das Desigualdades: Quando invertemos os dois lados de uma inequação (sendo ambos positivos), o sinal da desigualdade inverte. O “menor que” vira “maior que”.
(1,0132)^n > 4/3
Interpretação: O fator de juros acumulados tem que ser maior que a proporção 4/3 para que o desconto valha a pena.
Fase 3: A Aplicação dos Logaritmos
Agora que temos a equação (1,0132)^n > 4/3, aplicamos o Logaritmo Natural (ln) em ambos os lados para usar a “Regra do Tombo”.
ln((1,0132)^n) > ln(4/3)
n . ln(1,0132) > ln(4/3)
Agora, substituímos pelos valores numéricos dados no enunciado:
- ln(1,0132) aproximadamente 0,0131
- ln(4/3) aproximadamente 0,2877
n . 0,0131 > 0,2877
Isolamos o n passando o 0,0131 dividindo:
n > 0,2877 / 0,0131
Para facilitar a divisão, multiplicamos numerador e denominador por 10.000 para sumir com as vírgulas:
n > 2877 / 131
Fazendo a divisão:
n > 21,961…
Fase 4: A Conclusão Temporal
O cálculo nos diz que precisamos antecipar um tempo maior que 21,96 meses.
Como não existe “pagar a parcela 21,96”, precisamos do próximo número inteiro que satisfaz a condição.
Tempo de antecipação necessário = 22 meses.
Estamos no mês 30 (pagando a 30ª parcela).
Queremos a parcela que vence 22 meses depois desse momento.
Parcela Alvo = Mês Atual + Antecipação
Parcela Alvo = 30 + 22 = 52
🚨ARMADILHA CLÁSSICA!🚨
Existem dois abismos aqui.
- O erro do arredondamento: O aluno vê 21,96 e pensa: “Ah, arredonda para 21”. Se você antecipar 21 meses, o desconto ainda não chegou nos 25%. A desigualdade é estrita (n > 21,96), então somos obrigados a pular para 22.
- O erro do referencial: O aluno acha n = 22 e procura essa resposta. Mas n é o “tempo de viagem”, não o “destino”. Você está no km 30 e vai viajar 22 km. Você vai chegar no km 52, não no km 22.
Bússola (Síntese do Raciocínio):
O desconto exigido requer um tempo de juros acumulados superior a 21,9 meses. Somando o tempo inteiro necessário (22) ao mês base (30), chegamos à parcela 52.
Expectativa:
Procuramos a alternativa C.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) 56ª
- Diagnóstico do Erro: Superestimativa do intervalo.
- Análise: Para ser a 56ª parcela, o intervalo n teria que ser de 26 meses (30 + 26). Nosso cálculo mostrou que com 22 meses a condição de desconto já é satisfeita. Pagar a 56ª daria um desconto ainda maior, mas a questão pede a primeira parcela possível.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) 55ª
- Diagnóstico do Erro: Superestimativa.
- Análise: Similar à anterior. Implicaria antecipar 25 meses. Não é a primeira possível.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C) 52ª
- Análise de Correspondência: Exata.
- Análise: O valor de n > 21,96 nos obriga a adotar n = 22 meses. Partindo do mês 30 e avançando 22 meses, chegamos à parcela 52. É a primeira que ultrapassa a barreira dos 25% de desconto.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
D) 51ª
- Diagnóstico do Erro: Arredondamento incorreto (para baixo).
- Análise: Essa alternativa resultaria de somar 21 meses (30 + 21). Se anteciparmos apenas 21 meses, o desconto seria de quase 25%, mas ainda inferior a ele. A condição matemática n > 21,96 seria violada.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) 45ª
- Diagnóstico do Erro: Erro grosseiro de cálculo.
- Análise: Implicaria antecipar apenas 15 meses. O desconto seria muito menor que o exigido.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento:
A alternativa correta é a C, pois a matemática financeira demonstra, via logaritmos, que são necessários 22 meses de antecipação para atingir o desconto alvo, levando-nos da parcela 30 à parcela 52.
Resumo-flash:
Desconto exige tempo: use logaritmos para achar o intervalo e some ao momento atual.
Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
A lógica usada aqui (decadência exponencial para achar o tempo) é o princípio fundamental da Datação por Carbono-14. Arqueólogos medem a quantidade residual de carbono (Valor Presente) comparada à quantidade original (Valor Futuro) e usam a taxa de decaimento radioativo (análoga à taxa de juros inversa) junto com logaritmos para calcular há quantos anos (n) aquele organismo morreu. A matemática que desconta um boleto é a mesma que descobre a idade de um fóssil.
