O governo de um estado pretende realizar uma obra de infraestrutura para auxiliar na integração e no processo de escoamento da produção agrícola de duas cidades. O projeto consiste na interligação direta das cidades A e B com a Rodovia 003, pela construção das Rodovias 001 e 002. As duas rodovias serão construídas em linha reta e deverão se conectar à Rodovia 003 em um mesmo ponto, conforme esboço apresentado na figura, na qual estão também indicadas as posições das cidades A e B, considerando o eixo x posicionado sobre a Rodovia 003, e cinco localizações sugeridas para o ponto de conexão entre as três rodovias.
Pretende-se que a distância percorrida entre as duas cidades, pelas Rodovias 001 e 002, passando pelo ponto de conexão, seja a menor possível.
Dadas as exigências do projeto, qual das localizações sugeridas deve ser a escolhida para o ponto de conexão?
A) I
B) II
C) III
D) IV
E) V
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Geometria Plana (Teorema de Pitágoras e Distância entre dois pontos) e Otimização.
Tema/Objetivo Geral
Otimização de Trajetos. O objetivo é encontrar o ponto no eixo X que minimiza a soma das distâncias até dois pontos fixos (A e B).
Nível da Questão: Médio
- A questão permite dois caminhos: o geométrico (rápido e elegante) e o aritmético (longo e braçal). O aluno precisa ter a visão espacial para usar o atalho ou a paciência para calcular Pitágoras várias vezes.
Gabarito: Alternativa D
- O ponto IV (x=40) é o ponto de conexão que minimiza a soma das distâncias das rodovias 001 e 002.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
O governo quer ligar duas cidades (A e B) a uma rodovia principal (eixo X) usando duas novas estradas retas. A questão pede para descobrirmos onde essas duas novas estradas devem se encontrar na rodovia principal para que o gasto de asfalto (distância total) seja o menor possível.
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine que a Cidade A e a Cidade B estão de um lado de um rio (eixo X). Você precisa sair de A, tocar na margem do rio para pegar água, e ir para B.
Qual é o caminho mais curto?
Não é uma linha reta direta de A para B, porque você é obrigado a tocar no rio. O caminho mais curto é aquele onde o ângulo de chegada é igual ao ângulo de saída (como uma bola de bilhar batendo na tabela).
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Método Elegante (Reflexão): Usar simetria para achar o ponto exato sem fazer muitas contas.
- Método Força Bruta (Prova Real): Calcular a distância aproximada para cada um dos 5 pontos sugeridos usando Pitágoras.
- Comparação: Confirmar o vencedor.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Ferramenta 1: O Princípio da Reflexão (O Atalho)
Para encontrar o menor caminho entre dois pontos tocando em uma reta, refletimos o ponto B para o outro lado da reta (criando o B’). A menor distância será a linha reta entre A e B’. Onde essa linha cortar o eixo, é o nosso ponto.
Ferramenta 2: O Teorema de Pitágoras (A Força Bruta)
Para calcular a distância inclinada (hipotenusa), usamos:
Hipotenusa ao quadrado = Cateto oposto ao quadrado + Cateto adjacente ao quadrado.
Vamos ter que somar a distância (A até Ponto) + (Ponto até B).
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÉTODO ELEGANTE – REFLEXÃO)
Vamos usar a geometria para prever o resultado.
1. Coordenadas:
- Ponto A: x=20, y=40.
- Ponto B: x=50, y=20.
- Ponto B’ (Reflexo): x=50, y=-20.
2. A Reta de Ouro (Ligando A até B’):
Imagine uma linha reta descendo de A(20, 40) até B'(50, -20).
Vamos usar semelhança de triângulos para ver onde ela cruza o eixo.
- Altura de A até o eixo = 40.
- Profundidade de B’ até o eixo = 20.
- A altura de A é o dobro da profundidade de B’ (40 é o dobro de 20).
3. A Proporção Mágica:
Se a altura é o dobro, a distância horizontal percorrida até o eixo também deve ser o dobro.
A distância horizontal total entre as cidades é de 30 km (vai do x=20 ao x=50).
Precisamos dividir 30 km na proporção 2 para 1.
- Parte do A: 20 km.
- Parte do B: 10 km.
4. Localizando o Ponto:
Começando do x=20 e andando mais 20 km, chegamos ao x=40.
Isso corresponde ao Ponto IV.
PASSO 3 EXTRA – A PROVA REAL (MÉTODO DA FORÇA BRUTA)
Agora, vamos calcular a distância total para cada ponto sugerido, provando que o IV é realmente o menor.
Lembre-se: Distância Total = Hipotenusa A + Hipotenusa B.
Ponto I (x=20)
- Caminho A: É uma linha reta vertical. Distância = 40.
- Caminho B: Horizontal=30, Vertical=20.
Raiz de (30 ao quadrado + 20 ao quadrado) = Raiz de 1300 (aprox. 36). - Total I: 40 + 36 = 76 km.
Ponto II (x=30)
- Caminho A: Horizontal=10, Vertical=40.
Raiz de (100 + 1600) = Raiz de 1700 (aprox. 41,2). - Caminho B: Horizontal=20, Vertical=20.
Raiz de (400 + 400) = Raiz de 800 (aprox. 28,2). - Total II: 41,2 + 28,2 = 69,4 km.
Ponto III (x=35)
- Caminho A: Horizontal=15, Vertical=40.
Raiz de (225 + 1600) = Raiz de 1825 (aprox. 42,7). - Caminho B: Horizontal=15, Vertical=20.
Raiz de (225 + 400) = Raiz de 625 (exato 25). - Total III: 42,7 + 25 = 67,7 km.
Ponto IV (x=40)
- Caminho A: Horizontal=20, Vertical=40.
Raiz de (400 + 1600) = Raiz de 2000 (aprox. 44,7). - Caminho B: Horizontal=10, Vertical=20.
Raiz de (100 + 400) = Raiz de 500 (aprox. 22,3). - Total IV: 44,7 + 22,3 = 67,0 km. (O Vencedor!)
Ponto V (x=50)
- Caminho A: Horizontal=30, Vertical=40. (Triângulo 3,4,5).
Distância = 50. - Caminho B: É uma linha reta vertical. Distância = 20.
- Total V: 50 + 20 = 70 km.
A Bússola (O Perfil do Culpado)
Síntese do raciocínio:
O cálculo detalhado confirmou a teoria da reflexão. O Ponto IV resultou na menor soma (67 km), batendo o Ponto III por muito pouco (0,7 km).
Expectativa: Procurar a alternativa que indica o Ponto IV.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
(A) I.
Diagnóstico do Erro: Ponto x=20. Favorece totalmente a Cidade A (caminho reto), mas penaliza a Cidade B com uma diagonal longa. Deu 76 km.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
(B) II.
Diagnóstico do Erro: Ponto x=30. Ainda está muito deslocado para a esquerda, resultando em 69,4 km.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
(C) III.
Diagnóstico do Erro: Ponto x=35. É o “meio do caminho” geométrico horizontal. Muitos alunos marcam essa achando que a média é a solução. Deu 67,7 km, quase ganhou, mas perdeu.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
(D) IV.
Análise de Correspondência: Ponto x=40. Foi o vencedor tanto pelo método geométrico quanto pelo cálculo numérico (67 km).
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
(E) V.
Diagnóstico do Erro: Ponto x=50. Favorece totalmente a Cidade B, mas obriga a Cidade A a fazer uma diagonal enorme (hipotenusa de 50 km). Deu 70 km.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A resposta é a Alternativa D. O ponto ótimo equilibra as distâncias horizontais proporcionalmente às alturas verticais.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“Para achar o caminho mais curto batendo na parede, mire no reflexo do seu alvo atrás da parede.”
Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Este problema é a prova matemática da Lei da Reflexão da Luz (Física/Óptica). A luz sempre percorre o caminho de tempo mínimo (Princípio de Fermat). Por isso, o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão. O Ponto IV é exatamente onde esses ângulos se igualam.
