Peças metálicas de aeronaves abandonadas em aeroportos serão recicladas. Uma dessas peças é maciça e tem o formato cilíndrico, com a medida do raio da base igual a 4 cm e a da altura igual a 50 cm. Ela será derretida, e o volume de metal resultante será utilizado para a fabricação de esferas maciças com diâmetro de 1 cm, a serem usadas para confeccionar rolamentos. Para estimar a quantidade de esferas que poderão ser produzidas a partir de cada uma das peças cilíndricas, admite-se que não ocorre perda de material durante o processo de derretimento.
Quantas dessas esferas poderão ser obtidas a partir de cada peça cilíndrica?
A) 800
B) 1200
C) 2400
D) 4800
E) 6400
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Geometria Espacial (Volume de Sólidos: Cilindro e Esfera) e Aritmética (Operações com Frações).
Tema/Objetivo Geral
Remodelagem de sólidos (Conservação de Volume). O objetivo é calcular quantas unidades de um objeto menor podem ser criadas a partir do derretimento de um objeto maior.
Nível da Questão: Fácil
- A questão exige a aplicação direta de duas fórmulas clássicas de geometria e uma divisão final. O único ponto de atenção é trabalhar com números fracionários ou decimais no raio da esfera.
Gabarito: Alternativa D
- O volume do cilindro é 800 pi e o volume de cada esfera é pi sobre 6. Ao dividir o total pelo unitário, obtemos 4.800 unidades.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
Temos um pedaço grande de metal (cilindro) que será derretido para virar várias bolinhas pequenas (esferas). Queremos saber quantas bolinhas conseguimos fazer. Matematicamente, isso é um problema de divisão de volumes.
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine uma barra de chocolate gigante. Você vai derretê-la inteira e despejar o chocolate líquido em forminhas de trufa.
Para saber quantas trufas vai render, você precisa saber quanto chocolate tem na barra (Volume do Cilindro) e quanto chocolate cabe em cada forminha (Volume da Esfera).
Depois, é só dividir o Grandão pelo Pequeno.
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Calcular o Volume do Cilindro: Descobrir quanto material temos disponível.
- Calcular o Volume da Esfera: Descobrir quanto material cada rolamento gasta.
- A Divisão Final: Dividir o volume do cilindro pelo volume da esfera para achar a quantidade.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Precisamos das fórmulas de volume para os dois formatos.
1. O Cilindro (A Peça Bruta)
O volume é a área da base (círculo) multiplicada pela altura.
Fórmula: Volume = pi vezes (raio ao quadrado) vezes altura.
2. A Esfera (O Rolamento)
O volume depende apenas do cubo do raio.
Fórmula: Volume = (4 vezes pi vezes (raio ao cubo)) dividido por 3.
Dica de Ouro: Não substitua o pi por 3,14. Como ele aparece no volume do cilindro e no da esfera, ele vai se anular na divisão final. Deixe-o como símbolo (pi) para economizar tempo.
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos aos cálculos passo a passo.
Etapa A: O Cilindro
Raio = 4 cm.
Altura = 50 cm.
Volume = pi vezes (4 ao quadrado) vezes 50.
Volume = pi vezes 16 vezes 50.
Volume do Cilindro = 800 pi.
Etapa B: A Esfera
Atenção: O diâmetro é 1 cm. Logo, o raio é 0,5 cm (ou 1/2 cm). Usar fração (1/2) facilita a conta.
Volume = (4 vezes pi vezes (1/2 ao cubo)) dividido por 3.
(1/2 ao cubo) é 1/8.
Volume = (4 vezes pi vezes 1/8) dividido por 3.
Simplificando 4 vezes 1/8, temos 4/8, que é igual a 1/2.
Então, Volume = (1/2 pi) dividido por 3.
Volume da Esfera = pi dividido por 6.
Etapa C: A Produção (Divisão)
Quantidade = Volume Cilindro dividido por Volume Esfera.
Quantidade = 800 pi dividido por (pi dividido por 6).
Cortamos o pi com o pi.
Resta: 800 dividido por (1/6).
Regra da divisão de fração: Repete o primeiro e multiplica pelo inverso do segundo.
Quantidade = 800 vezes 6.
Quantidade = 4.800 esferas.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
O erro mortal aqui é usar o diâmetro (1) na fórmula da esfera em vez do raio (0,5). Se o aluno fizer isso, calculará o volume da esfera como sendo 8 vezes maior do que realmente é, encontrando uma quantidade de esferas 8 vezes menor (resultando em 600, que não tem nas alternativas, ou errando a simplificação e marcando a letra A).
A Bússola (O Perfil do Culpado)
Síntese do raciocínio:
Volume Total = 800 pi.
Volume Unitário = pi / 6.
Divisão = 800 x 6 = 4.800.
Expectativa: Procurar o número 4.800 nas alternativas.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
(A) 800
Diagnóstico do Erro: O candidato pode ter esquecido da fração da esfera ou da conversão de unidades, ou simplesmente achou que o volume do cilindro (800 pi) já era a resposta final, ignorando o volume da esfera.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
(B) 1 200
Diagnóstico do Erro: Erro de cálculo na fração da esfera, possivelmente esquecendo de elevar o raio ao cubo ou errando a inversão da fração na divisão final.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
(C) 2 400
Diagnóstico do Erro: O candidato pode ter usado o raio como 1 cm em vez de 0,5 cm, mas ajustou a fórmula incorretamente, ou esqueceu de multiplicar por algum fator da fórmula da esfera.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
(D) 4 800
Análise de Correspondência: Cálculo perfeito. A relação entre o volume disponível e o volume necessário resulta exatamente neste valor.
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
(E) 6 400
Diagnóstico do Erro: Erro aritmético grosseiro na multiplicação final ou na potência do raio.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A resposta é a Alternativa D. O volume do cilindro rende 4.800 esferas pequenas.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“Dividir por uma fração pequena (1/6) é o mesmo que multiplicar por um número grande (6).”
Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Este problema ilustra o conceito de Densidade de Empacotamento na indústria. Embora a questão diga que “não há perda de material” (derretimento total), na vida real, se tentássemos cortar as esferas diretamente do cilindro sem derreter, sobraria muito espaço vazio entre elas. O processo de fundição (derretimento) é essencial para aproveitar 100% do volume, como feito no cálculo.
