O gráfico apresenta os totais de receitas e despesas de uma empresa, expressos em milhão de reais, no decorrer dos meses de um determinado ano. A empresa obtém lucro quando a diferença entre receita e despesa é positiva e tem prejuízo quando essa diferença é negativa.
Qual é a mediana, em milhão de reais, dos valores dos lucros apurados pela empresa nesse ano?
A) 1,5
B) 2,0
C) 2,9
D) 3,0
E) 5,5
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Estatística (Medidas de Tendência Central: Mediana) e Interpretação de Gráficos de Colunas.
Tema/Objetivo Geral
Extrair dados de um gráfico financeiro, filtrar informações com base em um critério específico (apenas meses com lucro) e calcular a mediana de um conjunto de dados par.
Nível da Questão
- Médio: Requer a extração manual de dados de 12 meses, realização de subtrações, filtragem de resultados positivos, ordenação numérica (rol) e o cálculo da mediana para um conjunto par de elementos. O volume de passos operacionais aumenta a chance de erro por desatenção.
Gabarito
- Alternativa (D): A mediana calculada sobre os valores positivos ordenados é 3,0.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
A questão pede que você calcule a mediana apenas dos valores referentes aos lucros. Isso implica ignorar qualquer mês onde houve prejuízo (resultado negativo) ou empate (resultado zero). Você deve extrair os valores, ordená-los e encontrar o termo central.
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine que você é um professor analisando as notas de uma turma. O diretor pede: “Quero a nota mediana, mas apenas dos alunos que passaram de ano (nota azul)”.
Seu trabalho é:
- Olhar todas as notas.
- Jogar fora as notas vermelhas.
- Colocar as notas azuis em fila, da menor para a maior.
- Pegar a nota de quem está exatamente no meio da fila.
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Mineração de Dados: Ler o gráfico mês a mês e calcular o saldo (Receita menos Despesa).
- Filtragem: Selecionar apenas os saldos positivos (Lucros).
- Ordenação (Rol): Organizar esses valores do menor para o maior.
- Cálculo da Mediana: Identificar o centro dessa lista ordenada.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para resolver essa questão, organizaremos o conceito em uma tabela simples para diferenciar o que entra e o que não entra na conta.
Tabela de Critérios para Seleção de Dados
| Conceito | Fórmula Básica | Critério da Questão | Ação a Tomar |
| Lucro | Receita – Despesa | Resultado Positivo | Incluir na lista |
| Prejuízo | Receita – Despesa | Resultado Negativo | Descartar |
| Mediana | Valor Central | Lista Ordenada (Rol) | Ordenar e achar o meio |
Regra para Mediana com número Par de elementos:
Como temos 12 meses no ano, é provável que a quantidade de meses com lucro seja um número par.
- Se a lista tiver um número par de elementos, não existe um único “centro”.
- Você deve pegar os dois valores centrais, somá-los e dividir por 2 (fazer a média aritmética deles).
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos processar o gráfico mês a mês seguindo nosso plano.
Fase 1: Mineração e Filtragem (Cálculo dos Saldos)
Vamos calcular Receita (barra preta) menos Despesa (barra cinza):
- Jan: 6 – 3 = 3 (Lucro) – Entra
- Fev: 4 – 5 = -1 (Prejuízo) – Descarta
- Mar: 3 – 2 = 1 (Lucro) – Entra
- Abr: 5 – 6 = -1 (Prejuízo) – Descarta
- Mai: 6 – 1 = 5 (Lucro) – Entra
- Jun: 5 – 2 = 3 (Lucro) – Entra
- Jul: 6 – 4 = 2 (Lucro) – Entra
- Ago: 2 – 4 = -2 (Prejuízo) – Descarta
- Set: 7 – 3 = 4 (Lucro) – Entra
- Out: 2 – 4 = -2 (Prejuízo) – Descarta
- Nov: 8 – 7 = 1 (Lucro) – Entra
- Dez: 6 – 2 = 4 (Lucro) – Entra
Lista de Lucros (desordenada): 3, 1, 5, 3, 2, 4, 1, 4.
Total de elementos: 8 (Número par).
Fase 2: Ordenação (O Rol)
Para achar a mediana, precisamos organizar a fila do menor para o maior valor:
Rol: 1, 1, 2, 3, 3, 4, 4, 5.
Fase 3: Localização do Centro
Como temos 8 elementos, o centro está entre a 4ª e a 5ª posição.
Posições centrais:
- 4º termo: 3
- 5º termo: 3
Cálculo da Mediana (Média dos centrais):
Mediana = (3 + 3) / 2 = 3.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
O erro mais comum em questões de mediana é esquecer de ordenar os números. Se o aluno pegasse a lista original (3, 1, 5, 3, 2, 4, 1, 4) e tirasse a média do meio (3 e 2), encontraria 2,5. Isso levaria a um erro fatal. Lembre-se: Mediana exige ordem!
Outro erro é incluir os meses de prejuízo (valores negativos) na lista, o que alteraria completamente o centro da distribuição.
A Bússola (O Perfil do Culpado)
Síntese do raciocínio: Filtramos os 8 meses lucrativos, ordenamos os valores e, como a quantidade era par, calculamos a média dos dois centrais (que eram iguais).
Expectativa: O valor deve ser um número inteiro, especificamente 3,0.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) 1,5
Diagnóstico do Erro: Erro de Seleção de Dados.
Esse valor poderia surgir se o aluno incluísse os prejuízos na conta ou calculasse uma média simples errada considerando valores muito baixos. Também pode ser resultado de achar que a mediana está entre 1 e 2.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) 2,0
Diagnóstico do Erro: Erro de Conceito (Falta de Ordenação).
Se o aluno não ordenar a lista filtrada (3, 1, 5, 3, 2, 4, 1, 4), os números “do meio” visualmente poderiam parecer estar próximos de 2, ou ele poderia pegar o valor 2 que aparece na lista ordenada e achar que ele é o centro por engano.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C) 2,9
Diagnóstico do Erro: Confusão com Média Aritmética.
Se somarmos todos os lucros (1 + 1 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4 + 5 = 23) e dividirmos por 8, obtemos 2,875, que arredonda para 2,9. O aluno calculou a média, não a mediana.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D) 3,0
Análise de Correspondência:
Esta é a mediana exata. Ao ordenar os oito lucros (1, 1, 2, 3, 3, 4, 4, 5), os dois termos centrais são 3. A média entre 3 e 3 é 3.
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
E) 5,5
Diagnóstico do Erro: Extremos.
O aluno pode ter olhado para o maior lucro (5) ou tentado uma média com os valores mais altos do gráfico, ignorando a definição de centralidade.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A resposta é 3,0. A mediana é resistente a valores extremos, representando fielmente o centro da lista ordenada.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“Mediana é o juiz no meio da fila. Se a fila for par, o juiz é a média dos dois do meio. E lembre-se: sem fila ordenada (Rol), não tem juiz!”
Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Na economia real, a mediana é frequentemente preferida à média para analisar a renda da população. Se o Bill Gates entrar em um bar, a renda média das pessoas no bar sobe para milhões, mas a renda mediana (o cara do meio) continua a mesma. A mediana protege a análise contra distorções causadas por valores absurdamente altos ou baixos (outliers), exatamente como fizemos aqui ao ignorar a magnitude dos extremos e focar na posição central.
