A World Series é a decisão do campeonato norte-americano de beisebol. Os dois times que chegam a essa fase jogam, entre si, até sete partidas. O primeiro desses times que completar quatro vitórias é declarado campeão.
Considere que, em todas as partidas, a probabilidade de qualquer um dos dois times vencer é sempre 1/2.
Qual é a probabilidade de o time campeão ser aquele que venceu a primeira partida da World Series?
A) 35/64
B) 40/64
C) 42/64
D) 44/64
E) 52/64
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Probabilidade (Eventos Independentes, Probabilidade Condicional) e Análise Combinatória (Combinações Simples e Princípio Multiplicativo).
Tema/Objetivo Geral
Calcular a probabilidade de vitória de uma equipe em uma série “melhor de sete” partindo de um cenário de vantagem inicial (1×0).
Nível da Questão
- Difícil: A questão exige a modelagem de múltiplos cenários excludentes (vencer em 4, 5, 6 ou 7 jogos) e o uso correto da combinatória para ordenar vitórias e derrotas, lembrando que o último jogo de cada cenário é fixo (vitória do campeão).
Gabarito
- Alternativa (C): Somando as probabilidades de todos os cenários possíveis onde o time que largou na frente vence, chegamos à fração 42/64.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
A questão quer que calculemos a chance matemática de o Time A ser o campeão da série, dado que ele já venceu o primeiro jogo. As regras são: quem chegar a 4 vitórias primeiro, leva a taça.
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine uma corrida de obstáculos. O Time A já pulou o primeiro obstáculo (está 1×0). Ele precisa pular mais 3 obstáculos para vencer. O Time B ainda está no zero. Ele precisa pular 4 obstáculos para vencer. A chance de pular ou cair em cada obstáculo é 50% (cara ou coroa). Queremos saber a probabilidade do Time A completar seus 3 pulos restantes antes que o Time B complete os 4 dele.
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Mapear os Cenários de Vitória: O Time A pode ser campeão jogando o mínimo possível (4 jogos totais) ou estendendo a série até o limite (7 jogos totais).
- Calcular a Probabilidade de Cada Cenário: Para cada caso, calcularemos a chance das combinações de vitórias e derrotas acontecerem.
- Somar as Probabilidades: Como os cenários não podem acontecer ao mesmo tempo (são mutuamente excludentes), somaremos os resultados finais.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para resolver problemas de “melhor de X jogos”, precisamos usar a Árvore de Probabilidades combinada com Análise Combinatória.
A Regra de Ouro do “Jogo Final”:
Em qualquer cenário onde o Time A vence a série, o último jogo jogado deve ser, obrigatoriamente, uma vitória do Time A. Se o Time A vencesse antes do último jogo, a série já teria acabado antes. Portanto, ao calcularmos as combinações, só permutamos os resultados dos jogos anteriores ao jogo final.
Ferramenta: Cálculo de Probabilidade de Cenário
A probabilidade de um cenário específico é dada por: (Número de Ordens Possíveis) vezes (Probabilidade da Sequência).
- Probabilidade da Sequência: Como a chance de vencer cada jogo é 1/2, se jogarmos mais k partidas, a probabilidade é (1/2) elevado a k.
- Número de Ordens Possíveis: Usamos a Combinação C(n, p) para distribuir as derrotas do Time A entre as vitórias, excetuando o jogo final.
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos analisar a situação atual.
Placar: Time A (1) x (0) Time B.
Meta do Time A: Precisa de mais 3 vitórias.
Limite de derrotas do Time A: Pode perder no máximo 3 vezes (se perder 4, o Time B vence).
Vamos calcular caso a caso:
Cenário 1: Time A vence “varrendo” a série (4 jogos totais)
Para isso acontecer, o Time A vence os jogos 2, 3 e 4 consecutivamente.
- Jogos necessários: 3 vitórias seguidas.
- Probabilidade: 1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/8.
- Convertendo para denominador 64 (para facilitar a soma final): 8/64.
Cenário 2: Time A vence em 5 jogos totais
Para isso, nos próximos 4 jogos (jogos 2 a 5), o Time A vence 3 e perde 1.
- Condição Vital: O 5º jogo TEM que ser vitória do A (fim da série).
- Então, nos jogos 2, 3 e 4, o Time A teve 2 vitórias e 1 derrota.
- Combinações possíveis para os jogos intermediários: C(3, 1) = 3 formas de arranjar a derrota (Pode ser DVV, VDV ou VVD).
- Probabilidade da sequência (4 jogos): (1/2) elevado a 4 = 1/16.
- Total do cenário: 3 x 1/16 = 3/16.
- Convertendo para denominador 64: 3/16 = 12/64.
Cenário 3: Time A vence em 6 jogos totais
Para isso, nos próximos 5 jogos (jogos 2 a 6), o Time A vence 3 e perde 2.
- Condição Vital: O 6º jogo TEM que ser vitória do A.
- Então, nos jogos 2, 3, 4 e 5, o Time A teve 2 vitórias e 2 derrotas.
- Combinações possíveis: C(4, 2) = 6 formas.
- Probabilidade da sequência (5 jogos): (1/2) elevado a 5 = 1/32.
- Total do cenário: 6 x 1/32 = 6/32.
- Convertendo para denominador 64: 6/32 = 12/64.
Cenário 4: Time A vence em 7 jogos totais (no sufoco)
Para isso, nos próximos 6 jogos (jogos 2 a 7), o Time A vence 3 e perde 3.
- Condição Vital: O 7º jogo TEM que ser vitória do A.
- Então, nos jogos 2, 3, 4, 5 e 6, o Time A teve 2 vitórias e 3 derrotas.
- Combinações possíveis: C(5, 2) = 10 formas.
- Probabilidade da sequência (6 jogos): (1/2) elevado a 6 = 1/64.
- Total do cenário: 10 x 1/64 = 10/64.
Somatório Final (A Bússola)
Agora somamos as chances de todos os cenários onde A é campeão:
Probabilidade Total = 8/64 + 12/64 + 12/64 + 10/64
Probabilidade Total = 42/64
Síntese do raciocínio: Dividimos o problema em 4 caminhos possíveis. Calculamos a chance de cada caminho considerando que o último passo é fixo. A soma das partes nos dá o todo.
Expectativa: Procurar a fração 42/64 nas alternativas.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) 35/64.
Diagnóstico do Erro: Erro de Combinatória.
Este valor geralmente surge quando se calcula a probabilidade acumulada de vencer 4 em 7 jogos de forma simples, usando C(7,4) dividido por 2 elevado a 7, ignorando que a série pode acabar antes do sétimo jogo. É uma subestimação da vantagem de já ter vencido o primeiro.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) 40/64.
Diagnóstico do Erro: Erro de Cálculo Aritmético.
O aluno seguiu o raciocínio correto, mas errou na soma das frações ou na conversão de denominadores (ex: somar 1/8 + 3/16 erradamente).
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C) 42/64.
Análise de Correspondência:
A alternativa corresponde exatamente à soma dos quatro cenários mutuamente excludentes calculados no Passo 3 (8 + 12 + 12 + 10 = 42).
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
D) 44/64.
Diagnóstico do Erro: Superestimação.
Pode ocorrer se o aluno contar arranjos onde o Time A perde o último jogo mas ainda assim é considerado vencedor, ou duplicar algum cenário na contagem manual.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) 52/64.
Diagnóstico do Erro: Ignorância das Regras da Série.
Valor muito alto, próximo da certeza absoluta. Indica um erro grosseiro na modelagem probabilística, talvez assumindo que bastaria ganhar mais 2 jogos em vez de 3.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A resposta é 42/64. Vencer o primeiro jogo numa série equilibrada aumenta a chance de título de 50% para mais de 65%.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“Quem sai na frente, encurta a estrada. Some os caminhos: varrida, 4×1, 4×2 e a decisão no 4×3.”
Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Este problema é um exemplo clássico do Problema dos Pontos, resolvido por Pascal e Fermat no século XVII. Foi a troca de cartas sobre este exato problema (como dividir o prêmio se o jogo for interrompido?) que fundou a teoria moderna das probabilidades. Na Física, esse raciocínio é análogo ao Caminho Aleatório (Random Walk) em uma dimensão com barreiras absorventes.
