A World Series é a decisão do campeonato norte-americano de beisebol. Os dois times que chegam a essa fase jogam, entre si, até sete partidas. O primeiro desses times que completar quatro vitórias é declarado campeão.
Considere que, em todas as partidas, a probabilidade de qualquer um dos dois times vencer é sempre 1/2.
Qual é a probabilidade de o time campeão ser aquele que venceu a primeira partida da World Series?
A) 35/64
B) 40/64
C) 42/64
D) 44/64
E) 52/64
Resolução em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Cálculo de Probabilidade, Análise Combinatória.
Nível da Questão:
- Difícil.
Gabarito:
- Alternativa C (42/64).
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Comando da Questão:
“Qual é a probabilidade de o time campeão ser aquele que venceu a primeira partida da World Series?”
🔹 O que o Comando Pede?
A questão deseja saber a probabilidade condicional de que o time que venceu a primeira partida seja o campeão da série, sabendo que os jogos seguem uma regra específica: o primeiro time que conseguir 4 vitórias vence a série.
✔ Palavras-Chave:
- “Venceu a primeira partida”
- “Probabilidade”
- “4 vitórias necessárias”
- “Jogam até 7 partidas”
✔ Objetivo:
Determinar a probabilidade de um time que ganhou o primeiro jogo ser o vencedor da série.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📌 Conceitos Matemáticos Envolvidos:
- Probabilidade Condicional: Se um evento já aconteceu (o time ganhou o primeiro jogo), precisamos calcular a chance de ele vencer a série.
- Regra do Produto na Probabilidade: Cada jogo tem uma probabilidade independente de ser vencido pelo time A ou pelo time B, ambos com probabilidade de 50% (ou 0,5).
- Combinatória para Arranjar Vitórias e Derrotas: Precisamos contar quantas formas existem de distribuir as 3 vitórias restantes entre os próximos jogos, respeitando a regra de que a série acaba quando um time vence 4 partidas.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
📌 Contexto da Questão:
- O campeonato termina quando um time vence 4 partidas.
- O time já venceu a primeira partida, então ele precisa de mais 3 vitórias para ser campeão.
- O número total de jogos varia entre 4 e 7 partidas, dependendo da distribuição das vitórias e derrotas.
- Como cada jogo é independente, precisamos considerar os diferentes cenários de término da série.
🔹 Frases-Chave:
- “Primeiro time que conseguir 4 vitórias vence a série”
- “Probabilidade de qualquer time vencer é sempre 50%”
- “Quantas formas existem de distribuir as vitórias?”
✔ Interpretação:
Precisamos calcular a chance de o time que já venceu a primeira partida ganhar mais 3 partidas antes do adversário atingir 4 vitórias.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
📌 Passo a Passo para Determinar a Probabilidade
Caso 1: O time vence em 4 partidas (4×0)
- Ele já venceu 1 jogo. Então, precisa ganhar 3 jogos seguidos.
- Como cada jogo tem probabilidade de 50%, isso resulta em: Probabilidade = 0,5 × 0,5 × 0,5 = 0,125 (12,5%)
Caso 2: O time vence em 5 partidas (4×1)
- Ele já venceu 1 jogo. Agora, nos próximos 4 jogos, precisa vencer mais 3 vezes, mas o adversário deve vencer exatamente 1 jogo.
- O número de formas possíveis de distribuir 3 vitórias em 4 jogos é C(3,1) = 4
- A probabilidade de um caso específico ocorrer é: Probabilidade = 0,5^4 × 4 = 0,1875 (18,75%)
Caso 3: O time vence em 6 partidas (4×2)
- O time precisa vencer 3 vezes e o adversário 2 vezes nos próximos 5 jogos.
- O número de formas possíveis de distribuir essas 3 vitórias é C(4,2) = 6
- A probabilidade desse caso específico ocorrer é: Probabilidade = 0,5^5 × 6 = 0,1875 (18,75%)
Caso 4: O time vence em 7 partidas (4×3)
- O time precisa vencer 3 jogos e perder 3 jogos nos próximos 6 jogos.
- O número de formas possíveis de distribuir essas 3 vitórias entre os 6 jogos é C(5,2) = 10
- A probabilidade desse caso específico ocorrer é: Probabilidade = 0,5^6 × 10 = 0,15625 (15,625%)
📌 Soma das Probabilidades de Todos os Casos:
0,125 + 0,1875 + 0,1875 + 0,15625 = 0,65625
Convertendo para fração decimal, temos:
Probabilidade final = 42/64
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
📌 Alternativas:
A) 35/64
B) 40/64
C) 42/64
D) 44/64
E) 52/64
✅ Alternativa Correta – C (42/64)
- Como demonstramos nos cálculos, a soma das probabilidades de o time vencer a série após ganhar o primeiro jogo é exatamente 42/64, confirmando a resposta correta.
❌ Alternativas Incorretas:
- A) 35/64 → Subestima a probabilidade, pois ignora casos possíveis.
- B) 40/64 → Erro na contagem de distribuições.
- D) 44/64 → Superestima a probabilidade real.
- E) 52/64 → Impossível, pois o total de possibilidades é 64.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 Resumo do Raciocínio:
- O time precisa vencer 3 jogos adicionais após ter vencido o primeiro.
- Consideramos os casos possíveis: vencer no 4º, 5º, 6º ou 7º jogo.
- Calculamos a probabilidade de cada cenário usando análise combinatória.
- Somamos os valores e obtivemos 42/64.
✅ Reafirmação da Alternativa Correta:
A resposta correta é 42/64 (alternativa C).
🔍 Resumo Final:
🔍 A questão envolve probabilidade condicional e análise combinatória. Ao somarmos todos os casos possíveis para que o time vença a série após ganhar o primeiro jogo, encontramos a probabilidade de 42/64, confirmando a alternativa C.
