A figura mostra uma praça circular que contém um chafariz em seu centro e, em seu entorno, um
passeio. Os círculos que definem a praça e o chafariz são concêntricos.
O passeio terá seu piso revestido com ladrilhos. Sem condições de calcular os raios, pois o chafariz está cheio,
um engenheiro fez a seguinte medição: esticou uma trena tangente ao chafariz, medindo a distância entre
dois pontos A e B, conforme a figura. Com isso, obteve a medida do segmento de reta AB: 16 m
Dispondo apenas dessa medida, o engenheiro calculou corretamente a medida da área do passeio, em
metro quadrado.
A medida encontrada pelo engenheiro foi
A) 4π
B) 8π
C) 48π
D) 64π
E) 192π
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Geometria Plana (Círculos, Teorema de Pitágoras e Áreas).
Tema/Objetivo Geral:
Cálculo de área de figuras planas, especificamente a área de uma Coroa Circular (o espaço entre dois círculos concêntricos).
Nível da Questão: Médio.
- Requer que o aluno conecte dois conceitos distintos: o Teorema de Pitágoras e a fórmula da área do círculo. O “pulo do gato” é perceber que não precisamos descobrir os valores dos raios individualmente, apenas a relação entre eles.
Gabarito: Alternativa D.
- A área do passeio depende da diferença entre os quadrados dos raios. Usando o triângulo retângulo formado pela corda, descobrimos que essa diferença é exatamente 64. Logo, a área é 64 pi.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
A questão pede a área da região “passeio”, que é a parte cinza entre o círculo pequeno (chafariz) e o círculo grande (borda da praça).
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine um CD ou um donut. A questão quer saber a área do disco, descontando o buraco do meio. Matematicamente, queremos a área da pizza grande MENOS a área da pizza pequena.
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Montagem do Esquema: Visualizar o triângulo retângulo escondido na figura usando a reta tangente.
- A Conexão Pitagórica: Usar o Teorema de Pitágoras para relacionar os dois raios (o grande e o pequeno).
- O Cálculo Final: Substituir essa relação na fórmula da área da coroa circular.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para resolver isso, vamos usar um Fluxograma de Raciocínio Geométrico.
Não precisamos de números complexos, apenas entender a anatomia da figura:
- O Alvo (Área da Coroa):
A fórmula é: Área Total – Área do Buraco.
A = (pi . Rzão ao quadrado) – (pi . rzinho ao quadrado).
Colocando pi em evidência: A = pi (R² – r²).
O nosso objetivo é descobrir quanto vale (R² – r²). - A Ferramenta de Descoberta (O Triângulo Mágico):
Sempre que tivermos uma corda (linha AB) tangente a um círculo interno:- A distância do centro até a corda é o raio pequeno (r).
- A distância do centro até a ponta da corda (ponto B) é o raio grande (R).
- A corda é dividida exatamente ao meio pelo ponto de tangência.
Isso forma um Triângulo Retângulo onde:
- Hipotenusa = R
- Cateto 1 = r
- Cateto 2 = Metade da corda
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos aplicar o plano.
1. Extraindo os dados:
A reta AB mede 16 metros.
Como a reta toca o círculo menor (tangente), ela é dividida ao meio.
Logo, o cateto do nosso triângulo é 8 metros.
2. Aplicando Pitágoras:
Olhando para o triângulo imaginário que descrevemos:
Hipotenusa² = CatetoA² + CatetoB²
R² = r² + 8²
R² = r² + 64
3. O Pulo do Gato (Manipulação Algébrica):
Aqui a maioria trava tentando achar o valor de R ou de r. Não tente! O enunciado diz que é “sem condições de calcular os raios”.
Vamos apenas rearranjar a equação acima. Passe o r² para o outro lado subtraindo:
R² – r² = 64
Olhe para isso! Acabamos de descobrir o valor exato do termo que precisávamos para a fórmula da área.
4. Calculando a Área:
Fórmula: A = pi (R² – r²)
Substituindo o parenteses por 64:
A = 64 pi
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
A armadilha mais sedutora aqui é o aluno achar que precisa descobrir o valor isolado de R e de r. Ele fica tentando chutar valores (ex: supor que r=6 e R=10). Embora funcione matematicamente se os números formarem um terno pitagórico, é perda de tempo e pode induzir ao erro se o aluno escolher números que não fecham a conta. Confie na álgebra: você precisa da diferença, não dos valores individuais.
Síntese do raciocínio:
A metade da corda (8) ao quadrado (64) representa exatamente a “área útil” radial da coroa circular.
Expectativa:
Procuramos uma alternativa que tenha o número 64 acompanhado do pi.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
Alternativa A: 4 pi
O “Diagnóstico do Erro”: Confusão com Raiz Quadrada ou Diâmetro.
O aluno pode ter usado a metade da corda (8), dividido por 2 de novo (4) e aplicado na fórmula, ou esquecido de elevar ao quadrado em algum momento.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
Alternativa B: 8 pi
O “Diagnóstico do Erro”: Esquecimento da Potência.
O aluno pegou a metade da corda (8) e esqueceu de elevar ao quadrado na fórmula da área (pi . r²).
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
Alternativa C: 48 pi
O “Diagnóstico do Erro”: Cálculo Aleatório.
Valor distrator sem lógica geométrica direta forte, possivelmente erro de tabuada ou subtração incorreta de quadrados chutados.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
Alternativa D: 64 pi
Análise de Correspondência:
Calculamos que a diferença dos quadrados dos raios é 64. Multiplicando por pi, chegamos exatamente a este valor.
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
Alternativa E: 192 pi
O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Fórmula.
O aluno pode ter tentado calcular o volume de esfera ou multiplicado por 3 indevidamente.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A resposta é 64 pi. O quadrado da metade da corda tangente define a área da coroa.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“Na coroa circular, a corda tangente dita a regra: metade dela ao quadrado é a área que te pega.”
Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
O Teorema de Mammat (Um truque de lógica):
Como a questão não deu os raios, a resposta tem que valer para qualquer tamanho de chafariz, desde que a corda seja 16.
Leve isso ao extremo: Imagine que o chafariz diminuiu tanto que virou um ponto (raio r = 0).
Nesse caso, a corda de 16m vira o próprio diâmetro da praça.
Se o diâmetro é 16, o raio é 8.
Área = pi . 8² = 64 pi.
Pronto. Resolvemos sem Pitágoras, apenas com lógica de limites extremos. Isso é muito usado em Física e Engenharia para validar testes.
